函数图像对称性与周期性的内在联系

孙云英

【摘要】对于一个奇函数，若图像中存在一条对称轴x=a（a≠0），则为周期函数，并且4a是它的一个周期；若图像中存在一个对称中心（a，0）（a≠0），则为周期函数，并且2a是它的一个周期.对于一个偶函数，若图像中存在一条对称轴x=a（a≠0），则为周期函数，

并且2a是它的一个周期；若图像中存在一个对称中心（a，0）（a≠0），则为周期函数，并且4a是它的一个周期.

【关键词】函数；对称性与周期性；联系

函数图像对称性（奇偶性）与周期性有以下内在的联系：

（1）若定义在R上的函数f（x）的图像关于直线x=a和x=b（b>a）成轴对称，则f（x）为周期函数，并且2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期，以下同）.

（2）若定义在R上的函数f（x）的图像关于点（a，0）和（b，0）（b>a）成中心对称，则f（x）为周期函数，并且2（b-a）是它的一个周期.

（3）若定义在R上的函数f（x）的图像关于点（a，0）成中心对称和直线x=b（b>a）成轴对称，则f（x）为周期函数，并且4（b-a）是它的一个周期.

由此可知，对于一个奇函数：

（1）若图像中存在一条对称轴x=a（a≠0），则为周期函数，并且4a是它的一个周期.

（2）若图像中存在一个对称中心（a，0）（a≠0），则为周期函数，并且2a是它的一个周期.

对于一个偶函数：

（1）若图像中存在一条对称轴x=a（a≠0），则为周期函数，并且2a是它的一个周期.

（2）若图像中存在一个对称中心（a，0）（a≠0），则为周期函数，并且4a是它的一个周期.

下面举例看一下上述结论的应用，以飨读者.

例1 设f（x）是定义在R上的偶函数，它的图像关于直线x=2对称，已知x∈[-2，2]时，函数f（x）=-x2+1.求当x∈[-6，-2]时，f（x）的解析式.

解 因为f（x）是定义在R上的偶函数，且它的图像关于直线x=2对称，所以函数f（x）为

周期函数，且其一个周期T=4，即有f（x+4）=f（x）.

当-6≤x≤-2时，-2≤x+4≤2，又当-2≤x≤2时，f（x）=-x2+1，因此f（x+4）=-（x+4）2+1.

故當-6≤x≤-2时，f（x）=-x2-8x-15.

例2 设f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x=12对称.求f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）的值.

解 因为f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x=12对称，所以函数f（x）

为周期函数，且其一个周期T=2，即有f（x+2）=f（x）.

所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=f（1）+f（0）+f（1）+f（0）+f（1）=3f（1）+2f（0）.

因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0.

又f（1）=f（0），所以f（1）=0.因此f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0.

例3 设点P是函数f（x）=sinωx的图像C的一个对称中心，若点P到图像C的对称轴的距离的最小值是π4.求f（x）的最小正周期.

解 因为f（x）是定义在R上的奇函数，且坐标轴x=0是它的一条对称轴，所以函数f（x）最小正周期为T=（π4-0）×4=π.

例4 已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称，若f（x）=x

（0

解 因为f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称，所以函数f（x）为周期函数，且其一个周期T=4，即有f（x+4）=f（x）.显然f（0）=0，当0

当1

所以f（x）=x，（-1≤x≤1），-x+2，（1

因为函数f（x）的周期为T=4，

所以f（x）=x-4k，（4k-1≤x≤4k+1）-x+2+4k，（4k+1

例5 设函数f（x）定义在R上，满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0.试求方程f（x）=0在闭区间[-2005，2005]上的根的个数.

解 因为f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），所以函数f（x）有两条对称轴x=2和x=7.所以

函数f（x）为周期函数，且其一个周期T=（7-2）×2=10. 又f（3）=f（1）=0， 所以f（11）=f（13）=

f（-7）-f（-9）=0.故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有2个根，从而可知，函数y=f（x）在[0，2000]

和[-2000，0]上均有400个根，在[2000，2005]上有2个根，在[-2005，-2000]上没有根.所以，

函数在[-2005，2005]上有802个根.

通过上述举例，可以看出，准确把握函数图像的对称性（奇偶性）与周期性内在的联系，正确应用它们内在的联系，可以简化解题过程，提高解题效率.读者不妨今后以探之，以明快感.