点线间对称问题的探究

李冬明

【摘要】关于点线间的对称问题，是解析几何中烦琐计算的开始，也是中学数学中的常见问题而且用处广泛，值得大家深思、探究.

【关键词】对称点；对称轴；直线；方程

解析几何中的点线间对称问题主要分为两大类，即中心对称问题和轴对称问题.中心对称包括点关于点的对称、直线关于点的对称，轴对称包括点关于线的对称、线关于线的对称.以上对称问题如何求解，我们探究如下：

1.点关于点的对称

问题1：求点A（a，b）关于点P（x0，y0）对称的点A′.

分析：运用中点坐标公式即可求得对称点A′的坐标为（2x0-a，2y0-b）.

2.线关于点的对称

问题2：求直线l：ax+by+c=0关于点P（x0，y0）对称的直线l′.

分析：直线关于点的对称，主要求解方法是：

方法一：在已知直線上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线的方程；

方法二：由图形可知，所求直线l′与已知直线l平行，设直线l′的方程为ax+by+m=0，在直线l上任取一点，求出关于点P的对称点，再用待定系数法求出参数m的值，也就得到了直线l′的方程，或者由点斜式得到所求直线方程.

3.点关于线的对称

问题3：求点A（m，n）关于直线l：ax+by+c=0对称的点A′.

分析：设A′（x0，y0），利用直线l是线段AA′的中垂线，列出方程组y0-nx0-m·-ab=-1a（x0+m2）+by0+n2+c=0求解，可得到对称点A′（x0，y0）的坐标（其中b≠0，x0≠m）.

4.线关于线的对称

问题4：求直线l1：ax+by+c=0关于直线l：Ax+By+C=0对称的直线l2.

分析：一般转化成点关于直线的对称来解决，有两种情况：①若直线l1与直线l平行，则所求直线l2与它们都平行，可转化成点关于线求对称点，再用待定系数法求解，或运用平行线间的距离问题相等求解；②若直线l1与直线l相交，则所求直线l2必过它们的交点，再求点关于线的对称点，用待定系数法求解.

弄明白以上问题，也就弄清楚高中解析几何中的点线间的对称问题，至于特殊情况下的点和直线对称问题，亦可借助于图像求解.关于其应用，我举以下两个典型案例.

例1 一条光线经过点A（2，3）射出，遇到直线l：x+y+1=0后被反射，经过点B（1，1），求光线的入射线和反射线所在的直线方程.

解 作点A关于直线l的对称点A′，设A′（x0，y0），则

y0-3x0-2·（-1）=-1，x0+22+y0+32+1=0，

解得x0=-4，y0=-3.

∴A′（-4，-3）.

∴反射光线方程为y-1=1+31+4（x-1），即4x-5y+1=0.

由x+y+1=0，4x-5y+1=0，得x=-23，y=-13.

∴入射光线与对称轴的交点为-23，-13.

∴入射光线方程为y-3=3+132+23（x-2），即5x-4y+2=0.

评述 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.

例2 在直线l：3x-y-1=0上求一点P，使得

（1）点P到A（4，1）和B（3，4）距离之和最小，并求出最小值；

（2）点P到A（4，1）和C（0，4）距离之差的绝对值最大，并求出最大值.

解 （1）设点A关于直线l的对称点A′（x0，y0），则

y0-1x0-4·3=-1，3·x0+42-y0+12-1=0，得x=-2，y=3.

∴A′（-2，3）.

∴PA+PB=PA′+PB≥A′B.

连接A′B交直线l于一点，即为所求点P，如图1.

∴（PA+PB）min=A′B=（3+2）2+（4-3）2=26.

此时，直线A′B的方程为y-3=4-33+2（x+2），即x-5y+17=0.

由3x-y-1=0，x-5y+17=0，得x=117y=267

因此PA+PB的最小值为26，点P117，267.

（2）由（1）知，点A（4，1）关于直线l的对称点为A′（-2，3）.

∴PA-PC=PA′-PC≤A′C.

连接A′C，并延长交直线l于一点，即为所求点P，如图2.

∴（PA-PC）max=A′C=（0+2）2+（4-3）2=5.

此时，直线A′B的方程为y-3=4-30+2（x+2），即x-2y+8=0.

由3x-y-1=0，x-2y+8=0，得x=2，y=5.

因此PA-PB的最小值为5，点P（2，5）.

评述 恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.

在解析几何中，可以利用对称解决光线反射问题，利用对称求轨迹，利用对称求距离的最值等等，当然，其他的对称问题更值得我们去深思、探究.