一道联赛不等式的两种证明及其加强思路

李羽航　程梓兼

刚刚落幕的2014年全国高中数学联赛中，A卷加试第一题是一道多年不见的三元轮换对称不等式，在此，给出该题的两种与标准答案不同的证明方法，并且给出了此不等式的加强.

原题 已知a，b，c∈R，a+b+c=1，abc>0，证明：ab+bc+ac

分析 經过尝试可知当a=12，b=12，c=0时，左式和右式相等.由此等号成立条件和其三元轮换对称的形式，想到利用舒尔不等式.而使用舒尔不等式要求a，b，c>0，所以要进行分类讨论.

∴加强命题得证.

对于不等式的加强，需要综合各种各样的方法，例如文中所使用的待定系数法，另外综合运用了函数的知识.不等式的加强是一个很有意思的过程，需要很多的智慧和推敲.