2an阶群的可解性

崔雪晴

【摘要】为了判定2an阶群的可解性，采用了群的右正则表示的方法.给出了2an阶群可解的一个充分条件，即若其Sylow2-子群循环，则其必可解.又给出了判定2a阶群循环性的方法.得到一个判定2an阶群可解性的方法.

【关键词】有限群；2an阶群；可解性

【中图分类号】O152.1

判定有限群的可解性是有限群论的重要问题之一.从群阶的角度去研究可解性，是关键的研究方向.著名的FeitThompson定理已得到，奇数阶群必可解.以下，在此基础之上，给出了偶数阶群可解的一个充分条件.首先看几个有用的引理.

下面来证明2an阶群可解的一个充分条件.

定理1 设G=2an，a是正整数，n是奇数.若G的Sylow2-子群循环，则G必可解.

证明 设P为G的Sylow2-子群，则|P|=2a.由P循环知，P中存在2a阶元素u.考虑G的右正则表示R.由R（u）的定义及u为2a阶元素知，R（u）的不相交轮换分解中任一轮换长为2a.又由R（u）的定义知，R（u）无不动点，因此R（u）分解为n个长为2a的轮换.从而可表成（2a-1）n个对换.于是R（u）是奇置换.即R（G）中含有奇置换.于是R（G）中所有偶置换组成指数为2的正规子群N.|N|=2a-1n.断言：N的Sylow2-子群也循环.因为N的Sylow2-子群是R（G）的2-子群，必包含于R（G）的某Sylow2-子群中，由引理3知，R（G）的Sylow2-子群循环，于是N的Sylow2-子群循环.由引理1及归纳假设知，N可解.R（G）/N是2阶群，也可解.由引理2知，R（G）可解.由引理3知，G可解.

【參考文献】

[1]徐明曜.有限群导引上册（第二版）[M].北京：科学出版社，1999：62.

[2]Nathan Jacobson.Basic Algebra I[M].San Francisco：W.H.Freeman and Company，1974：239.

[3]聂灵沼.丁石孙.代数学导引（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2000：34-35.