习题教学价值的探讨

张成宏

本文笔者以人教版（新修订）八年级下册第18章《四边形》复习第14题的教学实践谈一些自己的看法.

1.从受阻的思路中寻找合理成分

原题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E为边BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F.求证：AE=EF.

对于这道题，学生首先想到的是作FH⊥BC交BC延长线于点H，然后证△ABE≌△EHF.但仔细分析后，又发现图中这两个三角形虽然内角相等，但由题意并不容易得出相等的边.有的同学想到连接AF，意在通过证明∠EAF=∠EFA得到AE=EF.但根据条件，也难以突破.习题教学不仅要解决“是什么”，更要从“为什么”“还有什么”的角度引导学生反思，对解法中蕴含的思想进行提炼.

我们知道：在证明线段相等时，若这两条线段在同一个三角形中，则可以尝试利用等角对等证明；若在不同的三角形中则可以考虑三角形全等，而当没有现成的全等三角形时，可以通过添加辅助线构造全等三角形进行证明，这其实是一种非常重要的思考策略.考虑到∠BAE=∠CEF，点E是BC的中点，经仔细思考，学生提出取AB中点M，连接ME的思路.在△AME与△ECF中，易知∠BAE=∠CEF，AM=EC，所以还需要一 角相等的条件，进一步分析可知，△BME为等腰三角形，CF平分∠DCG，所以∠AME=∠ECF=135°.若将原题条件“点E为边BC的中点”改为“点E为边BC上任意一点”（图4），结论还成立吗？再进一步，若点E为直线BC上的任意一点，结论是否还成立呢？如图5，6，当点E在BC的延长线上时，当点E在BC的反向延长线上时，结论还成立吗？不难发现，其结论都成立.

本题研究到现在，似乎该圆满结束了，但是一开始学生提出的两种直觉的想法就真的不行吗？

思路1：如图2，不容易证明的原因是这两个三角形虽然内角都相等，但暂时未找到相等的边，由角相等可以证∠ABE=∠EHF，进而可得BEAB=FHEH.

思路2：如图，连接AF不易证明是因为暂时未得出，但反过来想，利用A，E，C，F四点在以AF为直径的圆上，根据同弧所对的圆周角相等，知∠AFE=∠ACB=45°.

2.改变命题的条件，探究命题的价值

如果将正方形ABCD，改为“等边三角形”或“正五边形”，其他条件不变，结论是否还成立呢？

变1：如图，等边三角形ABC，点E为边BC上任一点，∠ADF=60°，EF交等边三角形外角的平分线CF于F.求证：AE=EF.

变2： 如图，正五边形ABCDH，点E为边BC上任一点，∠AEF=108°，EF交正五边形外角的平分线CF于F.求证：AE=EF.

解析（略）.

3.交换题设和结论，拓广知识延伸

延伸1：四边形ABCD是正方形，点E为边BC所在的直线上任一點，∠AEF=90°，AE=EF，连接CF，求证：CF平分正方形外角的平分线.

延伸2：四边形ABCD是正方形，点E为边BC所在的直线上任一点，CF平分正方形外角的平分线，找一点F，使AE=EF，连接EF，求证：∠AEF=90°.

4.数形结合，另辟蹊径

建立如图所示的坐标系，不妨设正方形边长为1，根据题意：A（0，1），E（12，0），C（1，0），由勾股定理可知：AE=52，AE：y=-2x+1，AE⊥EF，EF：y=12x+b，过E（12，0），所以，b=-14，y=12x-14，CF：y=x-1.

解得：x=32，y=12，F32，12，EF=122+32-12=52，AE=EF.