初中数学中的数形结合思想

宋天华

摘要：数形结合作为众多数学解题方法中的一种，可以使数学问题更加直观、形象地展示在学生面前，有助于学生理解、分析和解决问题，是初中数学教学中一种重要的解题思想。本文就数形结合思想在初中数学中的应用进行了详细地探究。

关键词：初中数学 数形结合 应用

初中数学是初中教学的重点内容，同时也是教学的难点。初中数学知识与小学数学知识相比，知识量更大、难度也大大增加，加之数学知识的片面性和抽象性，学生在学起来具有一定的难度。但是，数学作为一门研究数量关系和空间形态的学科，它所有的理论知识均是围绕着数与形来展开的。而数形结合的解题思想则正是充分运用这一点来对数学问题进行分析和解决。所谓的数形结合思想实际上就是利用“形”来直观地表达和反应数学问题的本质，再用“数”来对“形”的各种性质和变化规律进行分析和探究。下面就数形结合思想在初中数学中的主要应用进行了探讨。

有理数中的“数形结合”

有理数是初中数学学习的入门知识，是学生后期数学学习的理论基础。在有理数的教学过程中，如果教师可以引导学生合理地运用数形结合的思想，则有利于学生分析和理解所学的数学知识，拓展学生的数学思维，提高学生数学分析能力。而就有理数的学习阶段，数形结合思想主要表现在数轴的应用上，学生如果可以掌握数形结合思想，就可以借助数轴来解决教学过程中所遇到的各种数学问题，如有关倒数、相反数和绝对值等类型的数学问题。此外，教师还可以借助生活中常见的物体作为研究对象，来为学生讲解有关的数学知识。例如，教师可以用温度计来帮助学生理解数轴的概念，然后对数轴上的数和点的关系进行明确，让学生掌握用图形来分析数学问题所涉及的数量关系，从而达到提高学生数学解题能力的目的。

例1：已知实数a、b、c在数轴上的位置如下图所示，试化简下式：

解析：该道例题是数形结合思想的最好体现，从数轴上我们可以明显地得看出实数的正负性、各数之间的大小关系，从而有利于式子中绝对值跟根号的化简，而只要将式子中的绝对者和根号化简掉，就可以明显地得出有关的结论。下面就该道例题的具体解题步骤进行阐述。

解：由题目所给数轴可知：b<0，c<0，a大于0，且b-c<0，a+b<0，则可得：

，由此即可得到最简的化简形式。

函数中的“数形结合”

函数是初中数学教学中一个重点内容，同时也是一个涉及的知识面最广的内容，尤其是二次函数问题更是教学的重点内容。二次函数问题通常比较抽象，学生学习的过程中会有一定的困难，所以，大多数学生不愿意接触与二次函数有关的问题，甚至对其有一种莫名的恐惧感。这样致使学生形成了一种不正确的数学解题观念，非常不利于学生数学能力的提高。由于二次函数本身的特性，它与图形之间具有紧密的联系，学生只需要建立直角坐标系，并对题目中函数的关键点进行定位即可做出有关的图形，从而更加直观、形象地分析问题，这样将大大地降低学生解题的难度。理论上来讲，在二次函数定义式子（y=ax2+bx+c）中，参数a决定二次函数图形的开口方向，c决定二次函数图形与y轴的交点，而二次函数图形的对称性则由参数a和b所共同决定。因此，如果可以将数形结合思想合理地运用于数学教学中，则可以有效地提高学生解决二次函数问题的能力。

例2：已知点（-1，y1）、（-3，y2）和（2，y3）均在二次函数y=3x2+6x+2的图像上，则y1、y2、y3之间的大小关系为________。

解析：该道例题是一个与二次函数有关的大小判断题，如果学生不懂得利用数形结合的思想，则必须要将每个点的x值反代入二次函数中，分别求出相应的y值，这样将大大增加工作量。而如果学生可以借助数形结合法来做出y=3x2+6x+2的图形，则可以很快得出y1、y2、y3之间的大小关系。下面就该道例题的具体解题步骤进行阐述。

解：由二次函数式y=3x2+6x+2，我们可以将其化简得出一般的形式，可以得到y=3（x+1）2-1，则可以画出其对应的简图，如下图所示。

通过图形我们可以很容易地知道，当x=-1的时候，y值最小，当x=2的时候所取的数值要比x=-3的时候所取的值大，所以y1、y2、y3之间的大小关系为：y2>y3>y1

结束语

数形结合思想作為一种解题思想，在初中数学学习中扮演着重要的“角色”。它可以使抽象的数学问题直观化、形象化，有利于学生理解和认识，从而为学生解决数学问题奠定坚实的基础。因此，在开展数学教学的过程中，教师要引导学生树立数形结合的解题思想，从而达到提高学生数学解题能力的目的。

（作者单位：江苏省常州市钟楼区西林实验学校）