导数在不等式证明中的应用

高珍妹

【摘要】不等式的求解证明方法很多，灵活运用不等式的性质与不等式的求解证明方法是解决许多问题的关键。本文归纳了根据所给不等式的特征来利用导数证明的一些方法，并介绍了其具体的证明思路.

【关键词】导数  不等式  证明

引言

数学问题的解决关键在于我们对待数学问题的方法，如果在学习数学的过程中，我们能有意识地将数学问题系列化，解决数学问题的方法系列化，那么解决数学问题的能力将会得到升华。本文归纳了几种根据不等式的结构特征构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，从而应用导数的性质证明不等式的方法.

一、用导数定义证明不等式

定理定义

定义一（导数定义）

导数定义：设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，若极限   存在，则称函数f（x）在点x0可导，称该极限为

函数f（x）在点x0的导数，记作f`（x0）.

令 ， ，

则 .

證明方法和思路

找出x0，使得  恰为所要证明不等式的一边;

利用导数的定义并结合已知条件去研究.

适用范围

用导数定义证明不等式，应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系.有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的.

利用导数的定义得：

由于 .所以

即 .

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理证明不等式法

定理定义

定理一（拉格朗日中值定理）：若函数f（x）满足下列条件：

（1）f（x）在闭区间[a、b]上连续;

（2）f（x）在开区间（a、b）内可导，则在（a、b）内至少存在一点ζ ，使得      .

证明方法和思路

构造辅助函数f（x），并确定f（x）施用拉格朗日中值定理的区间（a、b）;

运用拉格朗日中值定理得到等式;

根据 ，消去 .

适用范围

当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明.

三、用函数的单调性证明不等式

定理定义

定理二： 若函数f（x）在（a、b）上可导，则f（x）在（a、b）上递增（递减）的充要条件是：

.

定理三： 设函数f（x）在（a、b）连续，在（a、b）内可导，如果在（a、b）内f′（x）>0（或f′（x）<0），那么f（x）在（a、b）上严格单调增加（或严格单调减少）.

定理四： 设函数f（x）在（a、b）内可微，若f′（x）>0（或f′（x）<0）），则f（x）在（a、b）内严格递增（或严格递减）.

证明方法和思路

构造辅助函数f（x），并确定f（x）所在区间（a、b）;

求f′（x），确定f（x）在区间（a、b）上的单调性，从而证明不等式.

适用范围

利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导;对所构造的辅助函数f（x）应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处f（x）的值为0，然后通过在开区间内f′（x）的符号来判断f（x）在闭区间上的单调性.

四、函数的极值与最值证明不等式

定理定义

定理五（极值的第一充分条件）：设f（x）在x0连续，在U0（x0;δ）内可导，

若当         时               ，当                           时                ，则f（x）在x0取得极大值;

若当                   时                 ，当                           时               ，则f（x）在x0取得极小值.

定理六（极值的第二充分条件）：设f（x）在x0的某领域

内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且f′（x0）=0，         ，若                 ，则f（x）在x0取得极大值;若                 ，则f（x）在x0取得极小值.

定理七（极值的第三充分条件）：设f（x）在x0的某邻域内存在直到n-1阶导函数，在x0处n阶可导，

且                                      ，                    ，则

当n为偶数时，f（x）在x0取得极值，且当                      时取极大值，                   时取极小值.

当n为奇数时，f（x）在x0处不取极值.

证明方法和思路

构造辅助函数f（x），并取定其区间.求出f（x）在所设区间上的极值与最大、最小值.

适用范围

所设函数f（x）在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时.

只能证不严格的不等式而不能證出严格的不等式.

五、用柯西中值定理证明不等式

定理定义

定理八  （柯西中值定理）：设函数f（x）和g（x）满足：

在[a、b]上都连续;在（a、b）上都可导; f′（x）和g′（x）不同时为零;                         .

则存在                ，使得                                 .

证明方法和思路

构造两个辅助函数f（x）和g（x），并确定条件区间[a、b];

运用柯西中值定理得到等式;

运用ζ与a、b的关系，对柯西公式进行加强不等式.

适用范围

当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明.

六、用函数的凹凸性证明不等式

定理定义

定义二：

凹凸函数定义：设f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数                总有

，

则称f（x）为I上的凸函数.反之，如果总有

，

则称f（x）为I上的凹函数.

定理九：设f（x）为区间I上的二阶可导函数，则在I上f（x）为凸函数（或凹函数）的充要条件是

.

命题（詹森不等式）：若f（x）在[a、b]上为凸函数，则对任意的                                   ，                        ，                                   有 .

定理十：若函数f（x）在[a、b]内有二阶导数，则任意的  ，

有

，即

当且仅当x1=x2=L xn时，不等式中等号成立.

定理十一：若函数f（x）在[a、b]内有二阶导数，且           ，则在[a、b]内任意的xi（i=1，2，L n） ，有

当且仅当x1=x2=L xn时，不等式中等号成立.

证明方法和思路

定义证明法：将不等式写成定义的形式，构造辅助函数f（x），并讨论f（x）在所给区间上的凹凸性.

詹森不等式法：对一些函数值的不等式，构造凸函数，应用詹森不等式能快速证明此类不等式.

适用范围

当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些含有函数值且只能够构造凸函数的不等式.

七、用泰勒公式证明不等式

定理定义

定理十二（泰勒定理）：若函数f（x）在闭区间[a、b]上存在直至n阶的连续导函数，

在开区间（a、b）内存在（n+1）阶导函数，则对任意给定的x，x0∈[a，b]，至少存在一点ζ∈（a、b），使得

证明方法和思路

根据已知条件，围绕证明目标，选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展式;

根据已知条件，向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理，直到可以结合已知条件证出不等式为止.

适用范围

当遇到含有函数与高阶导数，或函数增量与高阶导数，或要证的是导数（一阶或二阶）不等式时，可利用泰勒公式来证明有关的不等式.

八、总结

本文总结了导数在不等式证明中应用的七种方法，其中每一种方法都有各自的适用范围，而同一个问题也可以有几中解法，当在实际问题中应用时要注意区别每种方法的使用条件，选择适当的方法以解决问题.

参考文献：

[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3] 周晓农.导数在不等式证明中的应用.金筑大学学报2000（03）.

[4] 卞国文.用微积分理论证明不等式的方法.江苏省扬中高级中学，2002.

[5] 赵文祥.微分中值定理与不等式的证明.天津广播电视大学学报，2004（4）