依托概念培养学生分类讨论的思维习惯

张建平

许多数学老师都遇到过这样的问题，一些学生在求解含有字母系数（未知数除外，下面出现的方程均以x为未知数）的方程、不等式、函数等问题时，常常一厢情愿地把题目中没有明确的条件，下意识地当作已经明确的条件应用到解题过程中，自己还浑然不知. 自然，这样得到的结果要么不完整，要么甚至是错误的. 为什么会出现这样的现象呢？究其原因是多方面的，除了粗心、不会、不懂之外，还有一个重要的原因是部分学生在平时的学习过程中没有养成分类讨论的思维习惯.

本文就学生在平时的课堂学习过程中，如何依托概念，培养学生养成分类讨论的思维习惯谈谈自己的看法，不到之处恳请同行们批评指正.

一、准确理解概念是养成分类思维的根基

数学中的每一个概念，比如定义、定理、公式等，都是由条件和结论两部分组成的，进一步，那就是这些概念都有着明确的条件和结论，使用它们解题时只有在条件明确具备的前提下，才能得到正确的结论. 换言之，如果条件模糊不明确，也就是条件不具备或不完全具备，就无法得出正确的结论.

例如，解不等式 > 1，该不等式的解法有多种方法，有学生为了走“捷径”这样解，去分母，得1 > x，所以原不等式的解为x < 1. 这样解当然是错误的，但是学生有走“捷径”的想法本身并没错，那问题出在哪儿呢？究其根源，问题出在学生对不等式的相关概念的理解不到位造成的. 不等式有这样两条基本性质.

性质1：不等式两边乘（或除）以同一个正数，不等号的方向不变；

性质2：不等式两边乘（或除）以同一个负数，不等号的方向改变.

仔细研读这两条性质，就可以看到，两条性质其实就是两种情况（分类的萌芽），这两种情况明白无误地告诉我们在不等式两边乘（或除）以同一个正（或负）数时，要考虑不等号方向是否改变，而不等号方向是否改变，则依赖于条件中所乘（或除）以的数的正负是否明确. 现在回到不等式 > 1，去分母，必然要在该不等式两边同乘以x，问题来了，所乘数x的正负明确吗？回答当然是不明确. 至此，要想通过去分母来解决此不等式，自然而然要对x的正负情况做分类讨论.

解答如下：当x > 0时，去分母得，1 > x，即x < 1，此时不等式解为0 < x < 1；当x < 0时，去分母得，1 > x，即x > 1，此时不等式无解.

从这里可以看到，依托概念分析问题中的条件是否具备恰恰是分类思维的端倪.

二、对比问题和概念中的条件的同异是养成分类思维习惯的好方法

下面以一元一次方程和一元二次方程的概念为依托，来做进一步的分析说明.

例1 解一元一次方程ax + b = 0；

例2 解方程ax + b = 0（a ≠ 0）；

例3 解方程ax + b = 0.

分析：显然这三个例子都是基于学生学过的一元一次方程这个概念而来的，所以首先要明确概念，“只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1的方程叫一元一次方程” . 其次，以概念为依托，分析有无分类讨论的必要. 例1和例2其实是同一个方程，为什么呢？例1以文字的形式明确显示（隐含a ≠ 0）该方程是一元一次方程，例2以方程后附加条件a ≠ 0也明确显示出该方程是一元一次方程，所以这两个方程虽然含有字母系数却不需要讨论. 例3则不同于前两个，该方程是否一元一次方程条件并不明确，条件不明确怎么办？分类讨论顺势而来.

例4 解方程ax2 + bx + c = 0.

分析：仍然先明确概念，“等号两边都是整式，只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次数是2的方程，叫作一元二次方程”. 其次明确教材中关于一元二次方程的概念和它的一般形式 “ax2 + bx + c = 0（a，b，c是常数且a ≠ 0）”本质上条件相同 .拿例4与概念相对比，就可以看出二者的不同，一般形式中对字母系数a，b，c有着明确的规定，且强调a ≠ 0，而例4中字母系数a，b，c并没有这样的规定，也就是不明确. 这不就在引导我们条件模糊不明确时应当要分情况讨论吗？至此分类的想法自然而然就在头脑中产生了. （至于如何分类，那是另一个问题，这里不做讨论）

例4的略解：当a = 0时，有bx + c = 0，此时解法同例3.

通过上面对含字母系数的方程简单分析，我们可以看到，理解方程概念进而依托概念，可以帮助同学们在解答含字母系数的方程中建立起良好的分类思维意识和习惯. 这种思维习惯不仅在方程中随处可见，在其他诸如不等式、函数、几何中点线面的相对位置的讨论等，都处处可见. 因此，把握概念，以概念为依托培养学生建立起良好的分类讨论的思维习惯，这对学生将来解决一些较复杂的问题打下了基础.