两道高考与联赛试题的同型探源

陈文雅

【摘要】高考试题与联赛试题作为两类高水平试题，它们在命制过程中会有千丝万缕的联系，本文通过两道高考与联赛试题，来揭示试题命制过程中的同源性背景，以期把握试题命制的方向，提高复习效率.

【关键词】斜率；相反数；切线

圆锥曲线中有许多精彩、漂亮的性质与结论，而且在这些性质与结论中经常会遇到一些定点与定值问题，纵观近年高考与竞赛试题也不乏类似问题的考查，本文试图将两道高考与竞赛试题罗列在一起，对它们的来龙去脉进行本质的剖析，以期把握试题的命题方向，提高复习效率.

一、试题精彩回放

试题1（2009年辽宁省高考数学试题）已知椭圆C过点A1，32，两个焦点为（-1，0），（1，0）.（1）略；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

试题2（2011年全国数学联赛试题）作斜率为13的直线l与椭圆C：x236+y24=1交于A，B两点，且P32，2在直线l的上方.（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上.

点评这两道高考与竞赛试题考查的是圆锥曲线同一个内容，揭示的是同一个几何性质，它们一正一反将相同的曲线，相似的结论，命制在不同试卷上，真可谓“英雄所见略同”.

二、对试题源的正向剖析

既然两道试题具有同源性质，那么我们就有必要对试题的来由进行一些背景剖析，研究试题命制的依据，容易得到如下性质：

性质设A（x0，y0）（y0≠0）为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一定点，E（x1，y1），F（x2，y2）为椭圆C上两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，那么直线EF的斜率为定值x0b2y0a2.

证明设A（x0，y0），E（x1，y1），F（x2，y2），则直线AE的方程为：y-y0=k（x-x0），代入椭圆方程得：（b2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0，

∴E（a2k2-b2）x0-2a2ky0b2+a2k2，-2b2kx0+（b2-a2k2）y0b2+a2k2；设直线AF的方程为：

y-y0=-k（x-x0），∴F（a2k2-b2）x0+2a2ky0b2+a2k2，2b2kx0+（b2-a2k2）y0b2+a2k2.

∴直线EF的斜率kEF=y2-y1x2-x1=b2x0a2y0.

引申1設A（x0，y0），A′（x0，-y0）（y0≠0）为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上两定点，E（x1，y1），F（x2，y2）为椭圆C上两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，那么直线EF的斜率为椭圆C在点A′（x0，-y0）处切线的斜率.

证明椭圆C：x2a2+y2b2=1在A′（x0，-y0）处的切线方程为：x0xa2-y0yb2=1，

∴在A′（x0，-y0）处的切线斜率k=b2x0a2y0，即k=kEF.

引申2设A（x0，y0）（y0≠0）为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一定点，E（x1，y1），F（x2，y2）为双曲线C上两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，那么直线EF的斜率为定值-b2x0a2y0，且为双曲线在A′（x0，-y0）处切线的斜率.

引申3设A（x0，y0）（y0≠0）为抛物线C：y2=2px（p>0）上一定点，E（x1，y1），F（x2，y2）为双曲线C上两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，那么直线EF的斜率为定值-py0，且为抛物线在A′（x0，-y0）处切线的斜率.

三、对试题源的逆向探究

引申2设A（x0，y0）（y0≠0）为抛物线C：y2=2px（p>0）上一定点，斜率为-py0的直线EF交抛物线不同于点A的E（x1，y1），F（x2，y2）两点，则直线AE，AF的斜率互为相反数.

四、高考真题链接

1.（2004年北京市高考数学试题）过抛物线y2=2px（p>0）上一定点P（x0，y0）（y0>0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）.

（1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F的距离；

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2y0的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.

2.（2005江西省高考数学试题）M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA=MB，若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值.

优秀试题的“迷人风光”应体现在对高层次理性思维的考查上，同时也蕴含了更一般化的数学知识与方法.本文正是从两道高考和竞赛试题出发，以题中所考查的知识点为源头，寻根问底，在横向与纵向的联系中寻找“题源”，在题目的拓展中，强化了知识的应用.作为教者，如果能在平时的教学实践中做个有心人，重视挖掘课本与高考习题中所蕴含的价值，重视习题的进一步拓展改造，必将使得考生在高考中游刃有余.