剖析三角形形状的判断

王锋

【摘要】如何使用正、余弦定理判断三角形的形状？

高中数学中，有许多关于三角形形状的判断的题型，大部分学生解决起来感觉很困难，不知从何入手，不知如何使用两个定理，下面本文作者就从一个实例和三个题组来剖析如何巧妙地判断三角形的形状.

【关键词】三角形；形状；判断

例在△ABC中，已知（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且2cosAsinB=sinC，试确定△ABC的形状.

思路点拨充分运用正弦定理和余弦定理，可利用边的关系判断，也可转化为角的关系来判断.

精解详析法一：利用边的关系来判断.

由正弦定理得sinC[]sinB=c[]b.

又2cosAsinB=sinC，所以cosA=sinC[]2sinB=c[]2b.

由余弦定理有cosA=b2+c2-a2[]2bc.

所以c[]2b=b2+c2-a2[]2bc.即c2=b2+c2-a2.

所以a=b.

又因为（a+b+c）（a+b-c）=3ab，

所以（a+b）2-c2=3ab.所以4b2-c2=3b2.

所以b=c.所以a=b=c.

因此△ABC为等边三角形.

法二：利用角的关系来判定.

因为A+B+C=180°，所以sinC=sin（A+B）.

又因为2cosAsinB=sinC，

所以2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

所以sin（A-B）=0.

因为A，B均为三角形的内角，所以A=B.

又由（a+b+c）（a+b-c）=3ab.

得（a+b）2-c2=3ab.即a2+b2-c2=ab.

所以cosC=a2+b2-c2p[]2ab=ab[]2ab=1[]2.

因为0°

因此△ABC为等边三角形.

小结

1.判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，即把条件中的“边角关系”利用正弦定理或余弦定理转化为“边边关系”，进行判断；也可以从三个角的关系入手，即把条件转化为角与角的关系，结合内角和定理作出判断.

2.判断三角形形状时要注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别.

练习1若在△ABC中，acos（B+C）=bcos（A+C），则△ABC一定是（）.

A.等边三角形B.等腰三角形

C.等腰或直角三角形D.直角三角形

解析法一：（边化角）

由B+C=180°-A，A+C=180°-B，

则原式可化为-acosA=-bcosB，

即acosA=bcosB.

∴2RsinAcosA=2RsinBcosB.

∴sin2A=sin2B.

∵2A，2B∈（0，2π），∴2A=2B或2A=π-2B，

∴A=B或A+B=π[]2.

故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

法二：（角化边）

由法一，得acosA=bcosB，由余弦定理，得

a·b2+c2-a2[]2bc=b·a2+c2-b2[]2ac，即a2（b2+c2-a2）=b2（a2+c2-b2），整理，得（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，

∴a2-b2=0或者a2+b2-c2=0.即a=b或a2+b2=c2.

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.答案：C

练习2.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）.

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.由增加的长度决定

解析设直角三角形三边为a，b，c且c2=a2+b2，增加的长度为m，

即cosC=（a+m）2+（b+m）2-（c+m）2[]2（a+m）（b+m）

=a2+b2+2am+2bm+m2-c2-2cm[]2（a+m）（b+m）

=2（a+b-c）m+m2[]2（a+m）（b+m）>0.

故C为锐角.答案：A.

练习3在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a[]cosA=b[]cosB=c[]cosC，试判断△ABC的形状.

解法一：由正弦定理a[]sinA=b[]sinB=c[]sinC=2R，得

a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.

代入a[]cosA=b[]cosB=c[]cosC中，得

2RsinA[]cosA=2RsinB[]cosB=2RsinC[]cosC，

即sinA[]cosA=sinB[]cosB=sinC[]cosC，

∴tanA=tanB=tanC.

又∵A，B，C是△ABC的内角，∴A=B=C.

∴△ABC是等边三角形.

法二：由余弦定理得

a·2bc[]b2+c2-a2=b·2ac[]a2+c2-b2=c·2ab[]a2+b2-c2.

∴b2+c2-a2=a2+c2-b2=a2+b2-c2.

得a2=b2=c2，即a=b=c.

∴△ABC是等邊三角形.

总之，判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，依据已知条件中的边角关系进行判断，主要有如下两条途径：（1）利用正弦、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；（2）利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状.在两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.