二分法悖论的数学思考

薛尧

【摘要】二分法悖论是将事物或者形成一分为二，永远取中间的一种做法或说法.这种说法从理论上来说是成立的，但是从事情的本身结果来说又是站不住脚跟的，就是一件事物或者路程，按这种说法永远没有结果或者终点，但是事实是相悖的.

【关键词】二分发；数学；悖论

二分法悖论是古希腊哲学家芝诺提出的著名悖论，这个悖论说，一个人从A地出发去往B地，他要先到达AB的中点，然后到达剩余路程的中点，接着再到达剩余路程的中点……依次下去无穷无尽，所以这个人永远无法到达B地.这是一个典型的悖论，在实际生活中肯定不存在，但是芝诺的推理似乎又是如此的雄辩有力，无任何的理论可驳.那么我们该如何去看待呢？

一、不同的角度呈现不同的真实

爱因斯坦曾经说过，“真理可能不只是一种形态，不同的角度呈现不同的真实”，就像在人嘴里十分好吃的水果，在小狗的嘴中可能并非如此.所以角度不同，事物呈现不同的真实，不应该肯定一方完全否定另一方.

数学中我们学过分类讨论的思想，这个方法可以解決“这个水果是否好吃”这个问题，同样，我们也用分类讨论思想思考二分法悖论.

二、考察二分法悖论

一个人从A地出发去往B地，他要先到达AB的中点，然后到达剩余路程的中点，接着再到达剩余路程的中点……，那么这个人是否可以到达B地？

这里我们默认时间是均匀变化的，假设AB两地的距离为1.

1.如果这个人是匀速运动，且速度为1，那么他从A到B所需要的总时间是12+122+123+...它等于1，所以他可以到达B地.

2.如果这个人不是匀速的，假设他从起点到达第一个中点所需要的时间，等于第一个中点到第二个中点所需要的时间，等于第二个中点到第四个中点等等，依次类推都等于1.我们知道，第n-1个中点到第n个中点的速度为vn=1n，所以当n趋于无穷大时，速度为0，则这个人到不了B地.

从以上两个例子可以看出，二分法悖论也并不是一概的都不能应用于现实生活当中，在一定的条件下它是可以应用的，只不过它对于条件的要求非常的苛刻.所以说不管是任何事物他都会呈现多面性，在不同的角度用不同的方法去做，那么结果就有很大的差别性.

三、举例再分析

通过以上的对比我们可以看出二分法悖论的特殊性，那么为了更清楚这两个分类方式意义，我们再进行一些讨论.

1.第一种方式说明有些无穷问题是可以用有限值进行度量的.

比如在几何概型中，虽然基本事件是无限多个，但我们仍可以用测度来计算事件发生的概率.同样，点P从数轴0点移动到3点，虽然经过了无数个实数，但点P的运动长度仍可以计算，因为运动长度是单位长度的3倍，所以我们称P的运动长度为3.那么也就是说，点P的运动轨迹和长度都是一定的，无论你怎么去分，最后的结果都是一样的.

结合这个例子，我们可以说，一个人从A地出发去往B地，在不减速的情况下，他是可以到达B地的，这件事情的完成，不论你是如何分步的.

2.第二种方式说明如果我们只考虑如何分步操作，有限事件也可以永远完成不了.

在几何概型中，如果向正方形内随机投点，则点落在一条对角线上的概率为0，这里会有人觉得比较奇怪，觉得不是0.这个错觉出现的主要原因是将数学上的抽象推理与生活中的实际状况混为一谈，数学是生产生活的抽象提升，不等同于生产生活的真实状况，这种差别有时候不被放大，有时候会被放大，这时常会产生悖论，也就是说我们在现实生活的操控中，一个物体或者一件事物是允许出现单一性的，就像我刚才举的例子投点的错觉，那么在现实的操作中会不会出现所有的点都落在一条对角线上呢，其实答案应该是肯定的，只不过概率较低罢了，但是通过大家的想象力去想想大家会认为这种情况不会出现，所以感觉他的概率为0，所以说这就是产生悖论的根由所在.

例如，在用自然数计数时，数学和实际是完全吻合的，没有差别.当我们计算长度，面积，体积时，数学和实际常有误差，不过人们都能接受，不会引起悖论.也就是说，人们所能接受的误差程度和计算结果和事实之间的误差能够得到大家的认可，大家不去追究.那么当误差大的时候人们就不能够接受了，但是计算的结果又是正确的，这个时候就会出现悖论.所以二分悖论在现在的数学领域还是能够有所应用的.

但是数学的发展已超出人们的想象，在很多数学领域中，人们的实际生活体验和数学体验混合在一起，出现悖论也是常有的事情了.

四、如何看待悖论

悖论经常是在条件不明的情况下出现的，所以如果正确取舍条件，在特定的视角下，所谓的悖论就可以判断真假了.

另外悖论经常是混淆理论和实际而产生的，毕达哥拉斯学派否认无理数存在，罗素质疑集合论基础，近代人质疑微积分基础都是因此而产生.