在弱条件下判别曲线拐点的一种新方法

李柱恒

【摘要】当f（x）在点x0处不可导、二阶导数的表达式复杂且在x0的去心领域Uo（x0）内不容易确定正负号时，本文利用拉格朗日中值定理与极限的保号性定理得到只需用f（x）的一阶导数的符号判别点（x0，f（x0））是否为曲线y=f（x）的拐点的方法.

【关键词】曲线；拐点；导数

【中图分类号】O172.1

当函数f（x）在x0处的一阶导数f′（x0）=0时，文[2]给出了用函数f（x）的一阶导数f′（x）在U0-（x0），U0+（x0）的符号来判别曲线y=f（x）的拐点方法，文[2]的方法都要求函数f′（x0）存在，曲线y=f（x）的拐点的定义（见文[1]）并不要求f′（x0）存在，本文讨论了f（x）在x=x0处不可导时，求曲线y=f（x）拐点的新方法.

引理若limx→x-0f（x）=A>0（或为+∞），则存在δ>0，当x∈（x0-δ，x0）时，f（x）>0；若limx→x+0f（x）=A>0（或为+∞），则存在δ>0，当x∈（x0，x0+δ）时，f（x）>0.

证只证limx→x-0f（x）=A>0的情形，由左极限定义，对ε=A[]2，存

在δ>0，当x∈（x0-δ，x0）时，|f（x）-A|A-A[]2=A[]2>0.

对limx→x+0f（x）=A>0（或为+∞）与limx→x+0f（x）=A<0（或为-∞）等的情形也有类似的结论.

定理设函数f（x）在U（x0）内连续，在某去心领域Uo（x0）内有二阶导数（在x0处可以不可导），且f′（x-0）与f′（x+0）存在（或为∞），若存在δ>0，使得f′（x）-f′（x-0）在（x0-δ，x0）内与f′（x）-f′（x+0）在（x0，x0+δ）内同号，则点（x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐点.

证用反证法，若存在δ>0，使得f′（x）-f′（x-0）在（x0-δ，x0）内与f′（x）-f′（x+0）在（x0，x0+δ）内同号，而点（x0，f（x0））不是曲线y=f（x）的拐点.则在半径为δ的x0去心领域Uo（x0，δ），f″（x）≥0，或f″（x）≤0.但不在任一长度不为零的区间上等于零.不妨设f″（x）≥0，对任意x∈Uo（x0，δ），当x∈（x0-δ，x0）时，有x0-δ

例求下列曲线的拐点：（1）y=|x（ex-e）|；（2）y=|ex-e|1[]3ln1[]3x.

解（1）记f（x）=|x（ex-e）|，f′（x）=-x（ex-e），01.，f′（0-）=1-e，f′（0+）=e-1，f′（1-）=-e，f′（1+）=e，f（x）仅在x=0，1处的一、二阶导数均不存在，在（-∞，0）内，f′（x）-f′（0-）=xex+ex-1<0，在（0，1）内，f′（x）-f′（0+）=-（xex+ex-1）<0，f′（x）-f′（1-）=2e-（1+x）ex>0，在（1，+∞）内，f′（x）-f′（1+）=（1+x）ex-2e>0，由定理知点（0，0）与（1，0）为该曲线的拐点.

（2）因为该例的二阶导数的表达式很复杂，很难判别二阶导数符号的正负，用本文的定理判别很简单，记f（x）=|ex-e|1[]3ln1[]3x，则

f′（x）=-13（ex-e）-2[]3exln1[]3x+1x（ex-e）1[]3ln-2[]3x，01.

f′（1-）=f′（1+）=+∞，f（x）仅在x=1处的一、二阶导数均不存在，在（0，1）内，f′（x）-f′（0-）=-∞<0，在（1，+∞）内，f′（x）-f′（1+）=-∞<0，由定理知点（1，0）为该曲线的拐点.

【参考文献】

[1]同济大学等编.高等数学（第六版）：上册[M].北京高等教育出版社，2007.6.

[2]于淑兰.关于曲线拐点的判别法.数学的实践与认识，2003，33（1）：98-100.