利用导数证明不等式

张武党

摘 要：导数是解决函数最值问题的一种有效方法；不等关系是函数中常见的关系。利用导数来求得函数的最值，也就使得不等关系成立。因此利用导数证明不等式是一种证明不等式的有效工具。

关键词：导数；不等式；函数

题目： 已知a、b是正数，求证：lna-lnb≥1-— 。

证明：不等式lna-lnb≥1-—等价于ln—+—≥1，

令x=—，则x>0，

不等式可化为lnx+—≥1，对任意的x∈（0，+∞）都成立。

构造函数 y=lnx+—， x∈（0，+∞），

两边取导数 y'=—-—=—（1-—）=—

令y'=0，即—=0，解之得x=1，

当x>1时，y'=—>0，

函数y=lnx+—在x∈（1，+∞）上为增函数；

当0

函数y=lnx+—在x∈（0，1）上为减函数，

所以，当x=1时，函数y=lnx+—取最小值，最小值为1，

因此，lnx+—≥1，对任意的x∈（0，+∞）都成立；

当且仅当x=1时，等号成立，

即ln—+—≥ 1，对任意的a、b∈R+均成立；

当且仅当a=b时，等号成立。

所以，不等式lna–lnb≥1-ln—，

对任意的a、b∈R+均成立，

当且仅当a=b时，等号成立。 原不等式得证。

由于，a、b是任意的，对不等式可加强为

命题1：对任意的正数a、b，都有—-1≥ lna-lnb≥1-—成立。当且仅当a=b是等号成立。

由不等式证明的过程可知，命题1可变为

命题2：对任意的正数x，都有 x-1≥lnx≥1-—。当且仅当x=1时等号成立。

在命题1中，令a=k+1，b=k时，得

命题3：对任意的正数k，有— > ln （1+—） >— 。

在命题2中，令h=x-1，则x=h+1，

可得

命题4：对任意的h>-1，都有h≥ ln（1+h）≥—，当且仅当h=0时等号成立。

命题4左半部分和2005年高考重庆卷试题（理工农医类）最后一道题中出现的不等式一样。命题4与华东师范大学数学系编写的《数学分析》一书中第161页的不等式一样。

利用命题3可以证明下面不等式。

问题：若m是大于1的自然数，求证：

—+—+—+…+—< lnm<1+—+—+…+— ※。

证明：由数学归纳法证明，

①当m=2时，有—

②假设当m=k时，不等式

—+—+—+…+—< lnm<1+—+—+…+—

也成立。

那么当m=k+1时，ln（k+1）=ln（k·—）=lnk+ln— ⑴

应用假设，得

—+—+—+…+—+ln—

由命题3知 —

—+—+—+…+—+—<—+—+—+…+—+ln— ⑶

1+—+—+…+—+ln—+ln—<1+—+—+…+—+ln—+— ⑷

由⑴、⑵、⑶、⑷四个式子得

—+—+—+…+—+—< ln（k+1）<1+—+—+…+—+ln—+—成立。

即当m=k+1时，不等式※也成立。

由①、②可知，对任意大于1的自然数m，不等式

—+—+—+…+—< lnm<1+—+—+…+—

均成立。

导数知识从高数中放到高中数学，增加了高中数学解决问题的方法和灵活性。对高中数学的发展增添了新的活力。利用函数、导数证明不等式就是有效方法。

（作者单位：陕西省兴平市南郊高级中学）