例析数学中考中的动点变化产生的特殊图形的模式与构图（下）

林致桐

4 动点变化产生的平行四边形问题

例4 （2012年湖北襄阳中考）如图15所示，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处.分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O、D、C三点.

（1）求AD的长及抛物线的解析式.

（2）一动点P从E出发，沿EC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时，动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？

（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标，若不存在，请说明理由.

4.1 平行四边形存在性问题的模式识别

通常在平行四边形问题中，会确定一条边，但这条边可能作为边，也可能作为对角线，则出现二种模式，如图16.

4.2 平行四边形存在性问题的剖析图

构成平行四边形作图法为：（1）定边长为边作平行四边形；（2）定边长为对角线作平行四边形.如图17，图18，图19.

4.3 解题思维点拨：

（1）利用△BDC和△DEC重叠性质，算出△EOC和△AED中各线段的大小，再利用勾股定理求出AD的大小和点D的坐标，再把D、O、C三点坐标代入抛物线解析式即可求解.（2）根据条件，先判断∠DEA=∠OCE，再分类讨论△PQC中另一个角为90°，然后利用相似三角形对应线段成比例求解.（3）由于以M、N、C、E为顶点的平行四边形中已知线段EC是边还是对角线不明确，因此要分情况讨论：①当EC是平行四边形的边时，利用点M到对称轴的距离，确定点M的坐标，再确定点N的坐标；②当EC是平行四边形的对角线时，根据对角线互相平分，确定点M的坐标，再确定点N的坐标.

5 动点变化产生的菱形问题

例5 （2012年辽宁省铁岭中考）如图20所示，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与 x轴交于点D，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m），且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F.

（1）求m的值及该抛物线对应的解析式.

（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标.

（3）点Q是平面内任意一点，点M从F点出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形，若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由.

5.1 菱形存在性问题的模式识别

通常在菱形问题中，会确定一条边，但这条边可能作为菱形的边也可能用为菱形的对角线，则出现二种模式：见图21.

5.2 菱形存在性问题的剖析图

构成菱形作图法：（1）定边长为边构图，如图22，图23，图24；（2）定边长为对角线构图，如图25.

5.3 解题思维点拨：

（1）直接把B（-2，m）代入一次函数解析式，求出m.直接将A、B、O三点坐标代入抛物线的解析式即可求解.（2）△ADP与△ADC有共同的底边AD，根据同底等高三角形面积相等，得到点P的纵坐标为1，再代入抛物线解析式求出点P的坐标.（3）由于以Q、A、E、M为顶点的菱形中，已知线段AE是边还是对角线没有明确，因此要分情况讨论：①当AE是菱形的边时，利用ME=AE=■，确定点M的坐标，求出线段MF的长度，从而得到运动时间t的值.②当AE是菱形的对角线时，根据对角线互相垂直平分，确定点M的坐标，求出线段MF的长度，从而得到运动时间t的值.

6 动点变化产生的梯形问题

例6 （2011年山东省莱芜中考）如图26所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.

（1）求抛物线的函数表达式.

（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+BM的最小值.

（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形.若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

6.1 梯形存在性问题的模式识别

通常在梯形问题中，会确定三个顶点，形成三条边，但这三条边是底还是腰没有明确，则产生三种模式：如图27.

6.2 梯形存在性问题的剖析图

构成梯形问题的作图法：分别以一边为底或为腰作图.如图28，图29，图30.

6.3 解题思维点拨：

（1）直接将A、O、B三点坐标代入抛物线的解析式即可求解.（2）点O、B关于抛物线的对称轴对称，连接AB，根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短的性质，AB与对称轴的交点即为符合条件的M点.（3）由于以O、A、B为顶点顶点梯形中，已知线段AO、BO、AB是底还是腰没有明确，因此要分三种情况讨论：①BO是梯形的底，即OB∥AP，OB≠AP，过点A作直线AP∥OB，求出直线AP与抛物线的交点即可；②AO是梯形的底，即AO∥BP，AO≠BP，过点B作直线BP∥OA，求出直线BP与抛物线的交点即可；③AB是梯形的底，即AB∥OP，AB≠OP，过点O作直线OP∥AB，求出直线OP与抛物线的交点即可.

从以上的例析中可以看出，对动点变化产生的特殊图形通过模式化与构图，不仅让学生明晰了一类题型的解题思路、方法和技巧，也提升了教师自身研题和教学的能力.我们虽然反对“题海战术”，但不应轻视数学解题研究，尤其是对学生困惑问题的研究.我们要把解题上升到研题、编题，培养学生的建模能力，让学生知其然而知其所以然.

〔连载完〕