《曲线运动》核心考点研读

张北春

《曲线运动》是高中物理的重要章节，是整个物理学的基础内容。《课程标准》对本部分内容的相关要求是：会用运动合成与分解的方法分析抛体运动；会描述匀速圆周运动，知道向心加速度；能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力，分析生活和生产中的离心现象；关注抛体运动和圆周运动的规律与日常生活的联系。在高考《考试大纲》中，“匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度”、“离心现象”属I级要求；“运动的合成和分解”、“抛体运动”、“匀速圆周运动的向心力”属Ⅱ级要求。运动的合成和分解是研究复杂运动的基本方法；平抛运动和圆周运动是两种典型的曲线运动，是学习的重点。下面通过典型例题解读这些核心考点，希望对同学们的学习有所帮助。

一、曲线运动

【考点研读】当物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。物体做曲线运动时，速度的方向是时刻改变的，任一时刻（或任一位置）的瞬时速度方向与这一时刻物体所在位置处的曲线的切线方向一致。物体的运动轨迹必定在物体速度方向和所受合外力方向之间。

温馨提示：合力在物体做曲线运动中所起的作用是平行于速度方向的力改变速度的大小，垂直于速度方向的力改变速度的方向。

例1 （2014年四川卷）小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0。运动，得到不同轨迹。图1中a、b、c、d为其中四条运动轨迹。磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是 （填轨迹字母代号）。磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是 （填轨迹字母代号）。实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向 （选填“在”或“不在”）同一直线上时，物体做曲线运动。

由于A处磁力与v0。方向在同一条

直线上，故小钢珠做直线运动，运动轨迹为b。由于B处磁力斜向上，故其运动轨迹为c，d轨迹不合理。从而验证了物体做曲线运动的条件是物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

此题考查的主要是运动的性质：FA与v0。共线，物体做直线运动，FA与v0同一直线上，物体做曲线运动，且合外力指向曲线弯曲的内侧。

二、运动的合成和分解

【考点研读】运动的合成与分解包含了位移、加速度、速度的合成与分解，均遵循平行四边形定则。运动的合成与分解是设法把曲线运动（正交）分解成直线运动，再用直线运动规律求解。常见模型有：船渡河问题；绳通过定滑轮拉物体运动问题。进行运动的合成和分解时，应注意哪一个是合运动，哪一个是分运动。合运动指物体的实际运动，分运动是将实际运动按效果分解而得，合运动与分运动具有等时性。

温馨提示：从理论上来看，一个运动可以按平行四边形定则分解成任意的两个分运动。但是，速度分解如果只按矢量分解进行，数量关系即使无误，若与实际不符，则所得分速度也没有任何意义。因此，速度分解的基本原则是按照实际效果来进行的。在实际情况中，只能将物体相对于参考系的实际运动分解，即运动分解的原则是按运动效果进行的。

侧2（2014年四川卷）有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（ ）。

本题涉及相对运动及合运动轨迹的判定。一般来说，互成角度的两个匀速直线运动的合运动必定是匀速直线运动。对于匀变速曲线运动，运动方向总是向合加速度的方向逐渐靠近。

三、平抛运动

【考点研读】做平抛运动的物体只受重力作用，且力的方向与初速度方向垂直，因此平抛运动是加速度恒定（恒为g）的匀变速曲线运动。根据运动的合成与分解，可以把平抛运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动来研究。

温馨提示：对于平抛运动与其他运动形式（如匀速直线运动、竖直上抛运动、自由落体运动和一般的匀变速直线运动）的综合题目，要注意平抛运动与其他运动形式在时间上、位移上、速度上的相关分析。

例3 （2014年天津卷）半径为R的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴转动，A为圆盘边缘上一点，在O的正1：方有一个可视为质点的小球以初速度v水平抛出时，半径OA方向恰好与v的方向相同，如图2所示。若小球与圆盘只碰一次，且落在A点，重力加速度为g，则小球抛出时距（）的高度h= ，圆盘转动的角速度大小w= .

四、匀速圆周运动

【考点研读】质点做匀速圆周运动的条件是：（1）具有一定的速度；（2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与速度始终在～个确定不变的平面内且一定指向圆心。

温馨提示：（]）处理皮带问题的要点为：皮带（链条上各点以及两轮边缘上各点的线速度大小相等，同一轮上各点的角速度相同。（2）处理圆锥摆问题的要点为：圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。

例4 （2014年全国新课标l卷）如图3，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速运动，用w表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）。

解决有关圆周运动的动力学问题，首先要正确对做圆周运动的物体进行受力分析，必要时建立坐标系，求出物体沿半径方向的合外力，即物体做圆周运动时所能提供的向心力，再根据牛顿第二定律等规律列方程求解。

温馨提示：匀速圆周运动的向心加速度方向时刻在变化，总是沿着半径指向圆心，是一个变化的加速度。

例5 （2013年江苏卷）如图4所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（ ）。

A.A的速度比B的大

B.A与B的向心加速度大小相等

C.挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等

D.挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小缆绳所受拉力较小。正确选项为D。

“旋转秋千”是游乐场里常见的游乐项目，“旋转秋千”的运动可简化为圆锥摆模型，物体做匀速圆周运动的向心力由其所受的重力和缆绳拉力的合力提供。

六、向心力

【考点研读】向心力是按力的作用效果来命名的力，它的作用效果是改变线速度的方向。它不是具有确定性质的某种力，相反，任何性质的力都可以作为向心力。在匀速圆周运动中，向心力是由物体受到的合外力来提供，且与合外力相等。在非匀速圆周运动中，向心力是由物体受到的合外力在指向圆心方向的分力来提供，且与合外力的这个分力相等，而这个分力只改变物体的速度方向；合外力在切线方向上的另一个分力改变物体的速度大小。

解决本题的关键是搞清小环做圆周运动向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解。两个或两个以上物体相互连接并参与运动的系统称为有相互作用力的系统。处理动静结合的系统问题常用整体法和隔离法。当需要求内力时，常把某个物体从系统中“隔离”出来进行研究；当系统中各物体加速度相同时，可以把系统中的所有物体看成一个整体进行研究。七、生活中的圆周运动

【考点研读】生活中的圆周运动常见实例有：汽车过拱形桥、汽车转弯、自行车转弯、火车转弯、飞机盘旋，弯道途中跑、“水流星”杂技表演、荡秋千、“旋转秋千”的旋转、摩天轮的转动、洗衣机脱水等。

温馨提示：分析生活中圆周运动的实例，可按以下方法进行：①选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径，这是解题的基础；②正确分析研究对象的受力情况（切记：向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列出），明确向心力来源，这是解题的关键；③运用牛顿第二定律及圆周运动的运动学公式列出方程；④求解并进行必要的讨论。例例7 （2013年伞国新课标II卷）公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图6，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v，时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处（ ）。

A.路面外侧高内侧低

B.速只要低于ve，车辆便会向内侧滑动

C.速虽然高于ve，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动

D.路面结冰时，与未结冰时相比，ve的值变小解析

为使路面支持力沿水平方向的分力提供执法必严车转弯的向心力，在弯道处路面应该外侧高内侧低。当汽车行驶的速率为ve时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。由于地面摩擦力的作用，当车速低于ve时，车辆一般不会向内侧滑动。同样由于地面摩擦力的作用.当车速高于ve，只要不超出某一最高限度，车辆也不会向外侧滑动。ve的大小与摩擦力无关，即与路面是否结冰无关。答案为AC。

汽车在水平公路上行驶，转弯时所需的向心力由地面对车轮的侧向静摩擦力来提供，如果汽车转弯的速度过大，静摩擦力不足以提供向心力，汽车将做离心运动而发生危险！所以在汽车转弯的时候速度不宜过大，这就限制了汽车的高速运动。所以修筑公路时，人们也将路面适当向内侧倾斜，使汽车所受重力和路面对汽车的支持力的合力提供部分向心力，使汽车在速度较大时仍能安全地转弯。

八、平抛运动规律的探究方法

【考点研读】（1）对比实验法：将与平抛运动的初速度相同的水平匀速直线运动和平抛运动的水平分运动对比，将同时发生的自由落体运动和平抛运动的竖直方向的分运动对比。（2）轨迹研究法：描出平抛运动的轨迹，建立起水平、竖直的直角坐标系。根据对平抛运动情况的猜测，假定物体在水平方向做匀速直线运动，确定运动时间相等的一些点的坐标，研究物体在竖直方向运动的位移随时间的变化规律，证实或验证猜测。

温馨提示：操作注意事项：①斜槽末端的切线应保持水平，以保证小球做平抛运动；②每次小球从斜槽的同一位置无初速地释放，以保证小球从斜槽末端抛出后沿同一抛物线运动；③计算初速度时应选离原点远些的点，以减小测量误差。例8（2014年江苏卷）为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图7所示的装置进行实验。小锤击打弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落。关于该实验，下列说法中正确的有（ ）。

A.两球的质量应相等

B.两球应同时落地

C.应改变装置的高度，多次实验

D.实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动

平抛运动竖直方向的分运动为自由落体运动，故两球同时落体，B项正确；为r减小实验的误差，可以多次实验提高实验的准确性，C项正确；球体的质量对小球的运动没有影响，A项错误；水平方向分运动无法验证，D项错误。答案为BC。

跟踪训练：1.在2014年仁川亚运会田径项目女子铅球决赛中，中国选手巩立姣以19.06 m的成绩夺得金牌。如图8，铅球由运动员手中推出后在空中飞行过程中，若不计空气阻力，下列说法中正确的是（ ）。

A.铅球在空中飞行过程中加速度大小和方向均不变

B.球在空中飞行过程中加速度大小和方向均改变

C.球在空中飞行过程中做匀变速曲线运动

D.球在空中飞行过程中做非匀变速曲线运动

2.2014年11月l4日，安徽省首届龙舟公开赛（高校组）在位于紫蓬山风景区堰湾湖畔的水上运动中心举行。某龙舟队在比赛前划向比赛点的途中要渡过40m宽的河，龙舟在静水中划行的速率为2 m/s，河水的流速为4 m/s，下列说法中正确的是（ ）。

A.龙舟渡河的最小速率是3 m/s

13.龙舟渡河所用最少时间为20 s

C.龙舟渡河所经过的位移可能是80m

D.龙舟可能沿垂直河岸的航线抵达对岸

3.2014年11月14日上午，“环福州·永泰同际公路自行车赛”在马尾江滨东大道鸣枪开赛，选于们沿着江滨东大道、三环快速路骑行一圈，随后回到起点。白行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分（如图9），行驶时（ ）。

A.大齿轮边缘点比小齿轮边缘点的线速度大

B.后轮边缘点比小齿轮边缘点的角速度大

C.大齿轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于它们半径的反比

D.后轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于它们半径的反比

4.在2014年索契冬奥会速降滑雪运动中，当滑雪板压在雪地上时会把雪内的空气压出来，在滑雪板与雪地间形成一个暂时的“气垫”，从而大大减小雪地与滑雪板间的动摩擦因数，雪面松紧程度的不同造成运动员下滑过程中与雪面的动摩擦因数也不同。假设滑雪运动员从半圆形场地的坡顶下滑到坡的最低点过程中速率不变，则运动员下滑过程中（ ）。

A.受重力、弹力、摩擦力和向心力作用

B.向心加速度不变

C.受的合外力越来越小

D.受的摩擦力不断减小

参考答案：

1.AC提示：铅球只受一个重力，大小和方向均不变，加速度大小和方向也都不变，刚抛出时速度方向和重力的方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动。

4.D提示：滑雪运动员下滑的过程中受重力、弹力和摩擦力三个力作用，选项A错误；滑雪运动员速率不变，必做匀速圆周运动，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，选项B错误；运动员做匀速圆周运动，运动员所受合外力大小不变，选项C错误；因运动员在运动方向（切线方向）上合力为零，才能保证速率不变，在该方向重力的分力不断减小，所以摩擦力f也不断减小，选项D正确。