能力提升综合测试之机械能

毛永辉

1.在竖直平面内固定一轨道ABCO，AB段水平放置，长为4m，BCO段弯曲且光滑，轨道在0点的曲率半径为1.5 m。一质量m=l kg、可视为质点的圆环套在轨道上，圆环与轨道AB段间的动摩擦因数μ=0.5。建立如图1所示的直角坐标系，圆环在沿x轴正方向的恒力F作用下，从A（-7，2）点由静止开始运动，到达原点0时撤去恒力F，圆环水平飞出后经过D（6，3）点。取g=10 m/s?，不计空气阻力。求：

（1） 圆环到达0点时对轨道的压力。

（2） 恒力F的大小。

2.如图2所示，小球的质量m=0.1 kg，用长l=0.4 m的细线与固定在圆心处的力传感器相连，小球和传感器的大小均忽略不计。当在A点给小球一个初速度v₀=6 m/s时，小球恰能运动至最高点B，设空气阻力大小恒定，取g=10 m/s?，求：

（1） 小球在A点时传感器的示数。

（2） 小球从A点运动至B点的过程中，克服空气阻力做的功。

（3） 小球在A点以不同的初速度v₀开始运动，当运动至B点时传感器会显示出相应的读数F，试通过计算作出F-v_k2?图像。

3.某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛。比赛路径如图3所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟。已知赛车质量m=0.1 kg，通电后以额定功率P=l.5 W工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力恒为f=0.3 N，随后在运动中受到的阻力均可不计。图中L=10 m，R=0.32 m，h =1.25 m，x= 1.5 m，取 g=10 m/s?。问 ：

（1） 赛车越过壕沟需要在C点获得的最小速度是多少？

（2） 要使赛车完成比赛，电动机需要至少工作多长时间？

4.如图4所示，一质量不计的细线绕过无摩擦的轻质小定滑轮0与质量为5 m的重物相连，另一端与套在一根固定的光滑竖直杆上质量为m的圆环相连，竖直杆上有A、B、C三点，且B为A、C的中点，AO与竖直杆间的夹角θ=53°，B点与滑轮0在同一水平高度，滑轮与竖直杆相距为L，重力加速度为g。设竖直杆足够长，圆环和重物在运动过程中不会与其他物体相碰。现将圆环由A点从静止开始释放（已知sin 53°=0.8，cos 53°=0.6）。求：

（1） 重物下降到最低点时，圆环的速度大小v1为多少？

（2） 圆环能下滑的最大距离h为多少？

（3） 圆环下滑到C点时的速度大小v2为多少？

5.如图5所示，质量m=l kg的小物块由静止轻轻放在水平匀速运动的传送带上，从A点随传送带运动到其最右端B点，经半圆轨道C点沿圆弧切线进入竖直光滑的半圆轨道，恰能做圆周运动。C点在B点的正上方，D点为轨道的最低点。小物块离开D点后，做平抛运动，恰好垂直于倾斜挡板打在挡板P跟水平面相交的E点。已知半圆轨道的半径R=O.9 m，D点距水平面的高度h=0.75 m，取g=10 m/s?，试求：

（1） 摩擦力对小物块做的功。

（2） 小物块经过D点时对轨道压力的大小。

（3） 倾斜挡板P与水平面间的夹角θ。

6.如图6所示，一轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端与物体A连接，物体A与一跨过定滑轮的不可伸长的轻绳一端相连，绳另一端悬挂着物体B，物体B的下面挂着物体C，物体A、B、C均处于静止状态。现剪断物体B和C之间的绳子，在物体A、B运动的过程中，弹簧始终在弹性限度范围内。已知弹簧的劲度系数为k，物体A的质量为3m，物体B和C的质量均为2m。试求：

（1） 物体A的最大速度。

（2） 轻绳对物体B的最大拉力和最小拉力。

7.如图7所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点。水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=O.8 m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径。用质量m=0.4 kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点。用同种材料、质量m2=0.2 kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点时的速度v_B=6 m/s，物块与桌面间的动摩擦因数μ=0.4，B、D间的水平距离S_BD=2.5 m，物块飞离桌面后由P点沿切线落人圆弧轨道。取g=10 m/s2，求：

（1） 物块离开桌面D点时的速度大小。

（2） P点到桌面的竖直高度h。

（3） 判断质量为m2的物块能否沿圆弧轨道到达M点（要求计算过程）。

（4） 释放质量为m2的物块后，其在运动过程中克服桌面摩擦力做的功。

8.如图8所示，P是倾角θ=30°的光滑固定斜面。劲度系数为k的轻弹簧一端固定在斜面底端的同定挡板C上，另一端与质量为n的物体A相连接。细绳的一端系在物体A上，细绳跨过不计质量和摩擦的定滑轮，另一端有一个不计质量的小挂钩。小挂钩不挂任何物体时，物体A处于静止状态，细绳与斜面平行。在小挂钩上轻轻挂上一个质量也为m的物体B后，物体A沿斜面向上运动。斜面足够长，运动过程中物体B始终未接触地面。

（1） 求物体A刚开始运动时的加速度大小a。

（2） 设物体A沿斜面上升通过Q点时速度最大，求Q点到物体A开始运动位置的距离x₀及最大速度v_max。

（3） 把物体B的质量变为nm（n>0.5），小明同学认为，只要n足够大，就可以使物体A沿斜面上滑到（2）中所述Q点时的速度增大到2v_max，你认为是否正确？如果正确，请说明理由；如果不正确，请求出物体A沿斜面上升到Q点时速度的范围。