二面角的求解策略

郑欣

二面角问题是高考的热点，求解的关键是根据不同的几何背景，选择恰当的方法，一般有传统的方法：找或作出二面角的平面角，或运用射影面积公式求解；向量法：利用两平面的法向量的夹角。

一、定义法

感悟：利用定义法作二面角的平面角，要注意题中条件的特点，合理选择棱上的点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是平面角。

二、向量法

感悟：利用向量法求二面角，关键是建立适当的空间直角坐标系，把向量用坐标形式表示出来，将二面角问题转化为平面的法向量的夹角问题。但要注意所得角是否与图形所示角（即钝角还是锐角）相吻合，不吻合时，要用互补思想将其转化过来。

三、补形法

感悟：通过补形，可将某些特殊的几何体构造成常见的长方体、正方体、正四面体等，从而易找到二面角的平面角。

四、垂面法

感悟：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角，其中面面垂直的性质定理和三垂线定理的应用是求解的关键。

五、射影面积法

感悟：斜面面积和射影面积的关系：S'=S·cosθ（S为斜面面积，S'为射影面积，θ为斜面与其射影所成二面角的平面角），这个公式对斜面为三角形、任意多边形的情况都成立，是求二面角的好方法。当作二面角的平面角有困难时，如果能找得斜面面积和射影面积，可直接应用公式，求出二面角的大小。