综合法PK向量法：用而优则选

梅磊

近几年的高考中，对于立体几何解答题，一般可以选择用两种方法求解，即综合法和向量法。这两种方法孰优孰劣？我们在下笔之前该如何做出合理的选择呢？现以2013年和2014年高考湖北理科试题为例分析，供大家参考。

点评：本题主要考查线面平行的判定与性质，考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的求解等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想和转化与化归思想。

第一问要求判断直线l与平面PAC的位置关系，由于直线l是平面BEF与平面ABC的交线，所以考虑从EF∥AC人手，利用线面平行的判定定理与性质定理容易进行判断与证明，显然用综合法比较好。

第二问要求证明涉及三个空间角的一个等式sinθ= sinαsinβ成立。若选择利用综合法证明，则要根据三种空间角的定义在图形中找出这三个空间角及关联这三个空间角的模型，不难发现这个模型就是三棱锥F-BCD，它也是一个特殊的四面体，它的四个而都是直角三角形。若选择利用向量法证明，有固定的程序：建系、写坐标、求法向量、套公式、作答。

点评：本题主要考查空间中的线面关系、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想和转化与化归思想。

第一问中给出条件：λ=1，此时P、Q分别是DD1、BB1的中点，又题目中给出的是正方体模型，所以利用综合法证明比较容易。

第二问要求判断平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角是否能为直二面角。若利用综合法，则要找出平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角，添加的辅助线比较多；若利用向量法，避免了添加辅助线，且计算量不大。

高考立体几何解答题难度适中，命题形式比较稳定。因此，立体几何解答题向来是兵家必争之地。面对立体几何解答题，要想在有限的时间内拿到稳定的分数，审题之后，如何迅速决策采用综合法还是向量法或兼而用之就成为了关键。

通过上面两道例题，我们发现：用向量法（本质是代数法）来解决中学立体几何问题，克服了利用综合法（本质是几何法）常常需要添加若干辅助线而显得思路曲折的缺点，以算代证，数形结合，因而使解题思路更加清晰、简捷，解法顺理成章，尤其是求空间角和距离问题、证明线面平行与垂直问题，以及解决立体几何中的探索性问题，显得简便、快速。但是我们也应注意到：利用向量法尽管易操作但过程多，一个坐标写错或一个计算出错就会导致“满盘皆输”，而利用综合法，有时只需用一个定理、作一条辅助线就可完成解答。基于此，可参考以下建议：若不容易建系或非坐标向量法也不好用，应利用传统的综合法解题；若以正方体、长方体、直棱柱、正棱锥为背景或具备两两垂直（有时需要通过线面垂直、面面垂直的性质定理证出），这时往往两种方法均可运用，但可不急于利用建系解决，先看看是否较容易证（平行、垂直）、较容易找（线线角、线面角、面面角）、较容易求（距离、体积、面积），如果不方便利用综合法，再用向量法也不迟。

综合法和向量法是解决立体几何问题的两把利器，利用综合法解题思路巧妙，但计算简单；利用向量法解题思路简单，但计算复杂，二者各有利弊。面对具体的问题，应该根据具体条件和特点选择合适的方法。一言以蔽之，综合法PK向量法：用而优则选。

提示：第一问是三棱锥的体积的最值问题，可利用导数求解，也可直接利用基本不等式求解。对于第二问，若利用综合法，需要将线线垂直转化为线面垂直，线面角需要根据定义作出，推理过程烦琐且计算量大；若利用向量法，因为存在三个直二面角，所以建系很方便，计算也容易。相比之下，利用向量法明显简洁一些。