浅析近三年上海市中考压轴题对相似三角形的考查

李溢

从2008年开始，上海市中考数学试卷命题范围以二期课改教材为主，尤其是每年的压轴题，充分体现了二期课改的理念，融合了较多的知识点，蕴涵着多种数学思想方法.在考查的形式和内容上呈现了一定的规律，基本上都是在动态几何背景下求函数解析式、求线段长，体现数形结合思想；在变化中探究符合条件的存在性问题，体现对分类讨论思想和方程思想的考查.从知识背景上来说，要求学生会发现和构造相似三角形基本图形，再利用相似三角形的性质进行解题，这是上海市中考压轴题的显著特征和一贯传统.基于此，笔者从“相似三角形”的角度上海市近三年中考数学压轴题进行分析和评述，进而提出相关的教学建议.

一、试题解析与评述

（一）2013年压轴题

在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，连接QP（如图10）.已知AD = 13，AB = 5，设AP = x，BQ = y.

（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；

（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF = EC = 4，求x的值.

本题第（1）问和第（3）问体现了对相三角形的考查.

（3）按照题意画出图形，如图2所示，连接QE.

评述：该题第（1）问和第（2）问都是先证明相似再利用对应边成比例解题的模式，不同的是第（1）问的相似简单易证，第（3）问的相似需要结合角平分线、三角形外角定理、矩形性质等其他知识.两小问都有一定的运算量，其中第（1）问是化简代数式，第（3）问是解方程.

（二）2014年压轴题

（1）当圆C经过点A时，求CP的长；

（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；

（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长.

本题第（3）问体现了对相三角形的考查

解 （3）如图4进行构图

由前两题过程可知∠B = ∠ACB < 45°，而∠GAE = ∠B，∠GEA > ACB，∴ ∠GAE = ∠GEA不评述：本题的第（3）问难度在于等腰三角形存在性问题的分类讨论，在得出唯一的对应关系之后，相似三角形对应边成比例成为求出AE的等量关系，虽然该题中的相似三角形显而易见，但还是充当了临门一脚的关键角色，需要学生有把相似三角形性质和方程思想紧密结合的意识.

（二）2015年压轴题

已知：如图5，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ = OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C、D不重合），AB = 20，cos∠AOC = ■.设OP = x，△CPF的面积为y.

（1）求证：AP = OQ；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当△OPF是直角三角形时，求线段OP的长.

本题第（1）问、第（2）问体现了对相三角形的考查.

解 如图6进行构图，连接OD，作PH⊥AB

（1） ∵ AO = OD，∠AOC = ∠C = ∠ODQ，OP = DQ，

∴ △AOP ≌ △ODQ，∴ AP = OQ

（2）由cos∠AOC = ■可得OH = ■x，PH = ■x，

∴ S△AOP = ■AO·PH = 3x，

∵△PFC ∽ △PAO，∴ ■ = ■2，即■ = ■2，化简得y = ■，定义域为■ < x < 10.

评述：本题的2第（1）问罕见的在压轴题里考查了全等三角形，这需要学生会利用结论进行分析，要证线段相等，全等是最常见的思路，另外要会利用半径相等的隐含条件.全等是特殊的相似，所以，第（1）问也算是对相似三角形的考查.第（2）问研究三角形面积问题，这时最近几年上海市一模、二模及中考的一个命题趋势，三角形面积可以利用面积公式直接计算、可以利用割补法进行计算，也可以通过相似三角形面积比等于相似比的平方进行计算，本题属于第三种.2015年压轴题对于相似三角形的考查，给人耳目一新的感觉.

二、对教学的启示

纵观近三年上海市中考数学压轴题对相似三角形的考查，似乎走出了这样一条轨迹： 对传统考法的强化——对传统考法的相对弱化——寻求创新考法，不管未来的轨迹会何去何从，相似三角形在上海市中考压轴题中始终是知识层面的主角，结合上述三年的分析，可以给我们带来以下教学启示：

（一）领悟不同问法的本质

从压轴题题干的问法来看，无论是求函数关系、求线段长、求面积、解决存在性问题，其本质都是发现和构造相似三角形基本图形，在利用相似三角形的性质代入代数量的过程中，如果主要是双变量，那就是化简代数式；如果是单变量，那就是解方程.要让学生体会其中的数形结合思想：题目中蕴含的几何基本图形，其实就是方程模型中的等量关系.

（二）领悟“图形与几何”教学的核心

要在压轴题解题过程中快速地找到服务于代数模型的几何模型，需要学生进行这样两个思维过程：基于条件，我可以得到哪些基本图形；基于问题，需要我构造怎样的基本图形.这就是整个初中数学“图形与几何”这一重要板块的核心知识和核心技能：熟悉基本图形和会利用综合法分析法进行推理.教师无论在几何教学的新授课、习题课还是复习课中，都要明确这两个基本任务：要训练学生在复杂图形和非常规图形中找到基本图形的能力，要训练学生用“由因导果”和“执果索因”的方法分析问题的能力.