代数式是高级语言

王翔

【摘要】 代数式是人们为了表示数量而创设的一种高级的语言工具，它代替具体数值表示不确定的数量，所以应该看成 结果；它产生于算理，又可以看作算式. 它是语言，就应该简洁，所以它的运算其实就是化简，它的约定俗成应该合理有序. 明确代数式的语言属性便于学生更好地理解掌握.

【关键词】 语言；结果；算式；运算；化简

代数式是一种实用、简洁的高级数学语言，是人类认识世界、改造世界必备的工具. 代数式，顾名思义：代替数的式子，就是用它代替具体数值去表示数量，既然是代替具体数值来表示数量的，那么就应该理解为结果；而从其由来说：代数式是由运算符号串接得到的，所以它又可以看成是算式. 综上可见：代数式具有“结果”“算式”的双重性. 正是这种“双重性”，使得代数式能够用已知代替未知、用具体代替抽象、用特殊代替一般、用有限代替无限. 即是说：它可以无所不能地表示任意的数量. 从这一意义讲：代数式是人类文明发展进程中产生的一种特定的语言文化.

既然代数式有如此的重要性，那么怎样才能更好地理解、掌握并运用它呢？

一、依据代数式的“双重性”，切实把握“代数和”的内涵

为了准确地表示“相反意义的量”，人们引入了负数，引入负数以后，减法可以转化为加法，加减法就辩证地统一成了加法，这样使数量的表示更为简洁了，也就导致了具备“代数和”形式的代数式成为一类较为特殊、多见的代数式，对于这类代数式，一定要从“结果”“算式”两个方面去理解、把握，才能真正轻松地掌握它：“和”是加法运算的结果，把加法“算式”中的加号省略，就把它“同化”成了“结果”. 先看最为特殊的，“有理数加减混合运算”的算式，如：-3 + 2 - 5 + 4 + 8 - 9 - 6，把它看成算式时，可读作“负3加2减5加4加8减9减6”；而理解为结果时，就应该读作“-3，+2，-5，+4，+8，-9，-6的和”. 这里不妨先按“结果”来理解，明显看出其中的负数有：-3，-5，-9，-6，其余的都是正数，再运用运算律，把负、正数分别结合（最好把负数结合放在前面）：-（3 + 5 + 9 + 6） + （2 + 4 + 8） = -23 + 16 = -7，对于带有括号的加减混合运算的算式，可以通过“转”（化“减”为“加”）“省”（省掉加号）“同化”成“代数和”的形式，若这样处理并把它固化成一种特定模式，学生再处理此类问题时，就会感觉思路清晰、操作步骤明了、简单. 推而广之：多项式也就是“同化”后的“代数和”.

二、依据代数式的由来、结构，准确把握代数式的科学分类

代数式是用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，在所有的这些式子中，又以乘号连接的式子最为简短.特别地，乘号还可以省略，故把数和字母的乘积（直接“同化”为结果）组成的式子称为单项式，积（不说算式）中的数字因数称为它的“系数”，所有字母因数的指数和称为它的“次数”. 整式中的另一类——多项式（且看成加、减号连接的吧），是几个单项式的和，关键是要按“代数和”去理解（上文已提到），当把多项式解读为若干单项式的“和”时，能够十分清楚地看出：多项式的每个项、特别是每项的符号、每项的次数、整个多项式的次数.

再有除号连接的，有的是单项式，有的却是分式，分式最根本的特点：分母中含有字母.

最后还有根式，初中阶段主要是二次根式，它属于无理式；整式、分式统称为有理式.

三、从代数式的语言属性，透彻把握代数式运算的本质内涵

代数式既然是表示数量的语言，其本质特征就应该是简约、明了，这一属性就决定了代数式运算的实质：对代数式进行整理、化简，最终把它处理成最为简约明了的结果.

乘方，一种特殊的运算，求几个相同因数积的运算. an也是一个代数式，不能继续化简时，它就是最简结果，此时应该读作：“a的n次幂”，表示n个a相乘的结果：而需要继续化简时，就把它看作算式，此时应读作：“a的n次方”，表示n个a相乘，在处理具体题目时，先看成幂确定符号；而确定绝对值时又看作算式：用乘法去计算幂的绝对值.

再分门别类说说一般代数式的运算吧：

（一）整式的加减

整式包括单项式和多项式，整式的加减运算，先按加减的意义列出算式，此时要注意：多项式必须要用括号“包”起来，再通过去括号，把它“同化”成一个形式上的大“多项式”，该大“多项式”能否进一步化简，关键看其中有没有同类项，有，合并化简；没有，直接看作结果. 可见，整式加减的实质：先“同化”为大“多项式”，再合并同类项，使结果最为简约明了；没有同类项的，整理“同化”成的多项式就是最简结果.

（二）整式的乘法

1. “单项式乘单项式”，系数和字母因数分别相乘，特殊的“单项式自乘”，书中定义为“积的乘方”，感觉不如直接定义为“单项式乘方”，这样便于强调：系数、各字母因数分别乘方.

2. “单项式乘多项式”、“多项式乘多项式”都是利用分配律，把它们转化为“单项式乘单项式”. 由此可见：“单项式乘单项式”是整式乘法的基础.

3. 乘法公式 特殊的多项式乘多项式

（1）平方差公式：（a + b）（a - b） = a2 - b2，

（2）完全平方公式：（a±b）2 = a2 ± 2ab + b2，从公式的结构形式可以看出，它们都是以“结果”的形式来命名的，这会使人感觉很别扭，因为几乎所有的公式变形都是以“初始形式”来命名的，另外，还会与“因式分解”中的相关公式相混淆：一个公式变形的两个不同方向叫同一个名称，表述确实方便了，但在学生没有十分明确变形的目的时，该选择公式的哪个方向，对于他们来说确实是十分懵懂而难辨的. 反之，如果能从变形的不同方向依据“初始形式”分别命名，学生在理解、掌握、运用时自然要清晰自如得多.

那么到底该怎样分别命名会更好呢？不妨把a2 - b2 = （a + b）（a - b）从“初始形式”就叫做“平方差公式”，而把（a + b）（a - b） = a2 - b2从“初始形式”叫做“同异公式”：两个项数相同的多项式相乘，一部分项完全相同，一部分项符号相异、绝对值相同（不止两项的也可以具此特征来构造成“同、异”的形式），其结果等于：相同部分的平方减去相异部分的平方.

类似地：直接把a2 ± 2ab + b2=（a ± b）2依“初始形式”命名为“完全平方公式”，而把（a ± b）2 = a2 ± 2ab + b2依“初始形式”称为“多项式平方”. 确定命名为“多项式平方”有诸多好处；首先，依“初始形式”定义，符合数学规律，使人感觉顺畅、自然；其次，从不同方向分别命名，让学生掌握起来清晰且简单；再次，非常贴合多项式的意义，不论括号内是加、减号连接的，其实都是多项式；最后，括号内的项数还可以不受限制，当多于两项时叙述为：多项式平方等于：多项式中每一项的平方和，再加上它们两两乘积的二倍（此时，一定要弄清楚多项式中每一项的符号哦）.

（三）分式的有关运算

分式本质上是整式相除的产物. “整式除以整式”，结果有两种可能：整除，结果是整式；不能整除，结果就是分式. 既是结果应该最简吧，怎样才能达到最简呢？约去公因式呗，而要找出公因式，前提是要把多项式化为整式的乘积（只有相乘才有“因”式呀）. 由此可见；分式运算有个基础技能—分解因式.

关于分解因式，首先要明确它的目的：为化简找公因式而做的必要的变形（是以退为进的操作）；其次要明确它的本质：把一多项式化为若干整式的乘积（化“和”成“积”）；再次明晰它的操作步骤：一“提”二“套”，提公因式实际是“单项式乘多项式”的逆变形；套公式上文已提及不再展开.

1. 分式的乘除 分式间再乘除，遇“除”化“乘”，统一成乘法，再约去公因式，当遇有多项式时，要先分解才能确定公因式，然后分子、分母分别相乘.

2. 分式的加减，类比分数的加减，只是要特别注意其中“因式”的处理，公约数不分解可直接看出，公因式必须要分解才能看到.

（四）二次根式的有关运算

还是先说一种特殊的运算—开方：求方根的运算叫做“开方”，开方得到的结果叫做“方根”. 显见，这里的“开方”和“方根”采用的是循环式定义，这本身是不科学的，但揭示了它们之间的依存关系：开方是一种求方根的运算；方根是开方得来的结果.

开平方求得的是平方根，开立方得到的是立方根，立方根的规律非常简单：每个实数都只有一个与之同号的立方根，反过来可以说，每个实数都可以开立方；而平方根却要复杂得多：负数没有平方根，零有一个平方根是它本身，正数有两个互为相反的平方根（零的平方根和正数的正平方根又叫做算术平方根），从开方的角度说，负数不能开平方，正数开平方有两个结果.

二次根式：

（2）二次根式的加减 先利用（5）（6）两式化为最简，再合并同类的二次根式（类似多项式的合并同类项），把结果整成最简约.

代数式是语言，语言自有其科学规范性，代数式的科学规范性体现在它合理有序的约定俗成，像上文对“单项式乘方”、“同异公式”、“多项式平方”的命名，应该会使它的体系更合理有序吧，既然代数式是约定俗成，那么像“代数式是语言”、“代数式的双重性”“代数式算式到结果的同化”、“代数式运算是整理化简”等等，就应该把它们作为约定直白地告诉学生，这对他们掌握代数式这一特定语言大有裨益.