巧用数学转化思想提高高中生数学学习能力的实践研究

余传铭

【摘要】在数学教学过程中，我们常常将困难问题转化为容易问题，陌生问题转化为熟悉问题，这就是转化思想。它是解决新问题、获得新知识的重要思想，其他许多重要的数学思想，例如数形结合思想、分类讨论思想、方程与函数思想、整体思想等均体现了转化过程，因此转化思想是数学思想的核心和精髓，是数学思想的灵魂。高中课改教材中蕴含转化思想的知识点极多，教学过程中，如果能重视对转化思想的渗透和应用，将大大提高学生课堂学习的有效性，减轻学生的学业负担，让学生逐渐将新知识、新的解题方法转化为自己的经验，成为数学学习的主人翁。

【关键词】转化思想 化未知为已知 化繁为简

一、转化思想概述

所谓转化思想，就是在处理问题时把那些待解决的问题或难解决的问题通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答的一种数学思想。合理运用数学的转化思想是解决问题的关键。例如解析几何就是把几何问题通过转化归结为代数问题，函数图像是把代数问题转化归结为几何图形来解决的一种工具。数学问题的解决过程就是不断地发现新的、陌生的问题，分析新的、陌生的问题，对其进行转化，直至转化、归结为一类已经能被解决或者容易解决的问题的过程。下面来谈谈高中数学中比较常用的三种转化。

二、高中数学中常用的三种转化

1、普通语言向数学语言的转化

审题作为解题的第一步，对一道题的解答起着至关重要的作用，而如何将一道题中的各种由普通语言所表述的条件，转化为数学语言，则是解题过程中极其重要的一个步骤。

例1：函数 在 上是二次函数，且在 时函数取得最小值

，且有 ，求 的解析式。

分析：本题解题的关键在于如何合理地将题干中的普通语言转化为数学语言。如果仅仅是很直接地将函数设为 ，那么求解 三个参数的值，将变得相当复杂。相反，仔细琢磨“且在 时函数取得最小值 ”这句话，会发现，如果将所求二次函数设为顶点式，就将大大简化解题的难度，即设 。这样的话，要求解该二次函数，只要求出函数中的唯一一个参数，而求解这一个参数，只要得到一个关于该参数的方程即可，即 。因此，本题解决的关键，就在于如何理解题干中的普通语言，将之巧妙的化为更容易求解的数学语言。

2、陌生、复杂题型向熟悉、简单题型的转化

高中数学学习，为了最终的高考，往往提倡题海战术，有时候一个学生高中三年要做几千甚至几万题。在茫茫题海中，真的需要一道一道的去“砍”题么？在学习解题的过程中，如何应用数学的转化思想，把一道道陌生，复杂的，看似没有见过的题型，转化、分割成一些基本的，已经熟练掌握的题型，就变得相当重要。

例4：已知点P（x，y）满足方程 ，求 的最值

分析：表面上看，本题是一道关于“ ”的最值问题，但该方程最终无法转化为只含有一个变量“ ”的函数形式，因此无法运用最值问题来求解。

解法一：从另一个角度看，这个方程是圆的一般方程，所有满足题意的实数对（x，y）都在该圆上。而“ ”可以视作“ ”，即圆上的任意一点（x，y）与原点（0，0）连成的直线的斜率。于是本题就转化为了圆上任意一点与原点所构成的直线的斜率的最值问题。然后作出图像，如左图所示，过原点分别作出圆的两条切线，切圆于A（ ）和B（ ）点，则这两条切线所在的直线的斜率值，就是上述问题中的斜率的最值。然后再将图像的问题转化为代数问题，利用向量垂直建立方程就可以分别求出A点与B点的坐标。

解法二：将本方程配方化简为圆的标准方程 后，可以通过换元：令 转化为求三角函数的最值问题：求三角函数 的最值。对于这类题型，学生比较熟悉，可以利用万能置换公式或者辅助角公式来进行求解。

小结：一道看上去并不熟悉的问题，用第一种解法，将之转化为直线斜率问题，过定点作直线与圆相切并求切点的问题，成功的将一道看上去不熟悉的问题，分割转化为若干个小的、基本的、熟练掌握的问题，便于学生解答；第二种解法将一个与“ ”相关的最值问题转化为了学生熟悉的三角函数最值问题中的一种形式。可见，数学中许多问题，看上去陌生，但往往可以转化为已经学过并熟练解答的问题。

3、数与形之间的转化

代数向图像的转化，比较有代表性的，就是研究非初等方程的解的个数的问题。

例7：若 为何值时，关于 的方程： ，有两解、一解、无解？

分析：本题若没有给定区间，定义域为一切实数，那将变得非常简单，事实上，有许多学生在解答该类问题时，或者没注意到这个给定区间，或者是注意到了，但对题目所给定的区间对本题的意义没有一定了解，所以在解题的时候，就将本题当成了定义域为一切实数的类型来解答，仅仅考虑了判别式对根的影响。

本题可以转化成一个无参数的二次函数与可以上下移动的水平线之间的交点问题。

<解>

至此，原来的关于 的、在给定区间上的解的问题，就转化为了一个关于 的二元二阶方程组的解的问题。下一步是将该问题转化为直观的图像形式。

由左图可以看到，原来的问题已经转化为红色的抛物线与水平的直线的交点问题，有几个交点既为几个解。由左图可以很清晰的看出，当 时，无交点；当 时，只有一个交点；当 时，有2个交点。之后只是一些相当简单的运算。

本题原本是一个较难解决的问题，如果仅仅从代数方面去研究，利用求根公式求出根，或者利用韦达定理研究根的分布情况，都显得十分复杂。但如果秉承着数学转化的思想，最终转化为图像上2个图像的交点个数，则显得非常的简单。

四、结论

高中的数学，知识点既多，向外扩展的范围和力度也很大，各种题型层出不穷，如果不能够理解数学的转化思想，想通其中的奥妙，只是一味追求做题多，见多不怪，那么到最后的结果，只能是人外有人，天外有天，千奇百怪的题目永远做不完。数学何尝不是，掌握好转化思想，学好基础知识和定义，然后利用好转化思想，用转化思想去串联新旧知识，学习新公式，新性质，用转化思想把一道冗长的题目转化成简单明了的数学语言，用转化思想将数形转化，用转化思想将一道复杂的题目最终转化成一个方程组，一个方程，一个不等式等等。这样，才能笑傲高中数学学习。

【参考文献】

[1]王海平；《导学先锋》；汕头大学出版社；2008，12

[2]于忠文；《数学论文写作概论》；航空工业出版社；1999，2

[3]张奠宙，宋乃庆；《数学教育概论》；高等教育出版社；2009，1

[4]沈龙明；《高中数学有效教学》；世界图书出版公司；2009，1