一节数学概念课的鱼与熊掌

周学玲

【摘要】 通过不同视角品课，我与同行形成共识，好的数学概念课必须具有明确问题主线引领，多媒体演示实验运用恰当能帮组学生体验概念生成过程，把握概念本质.数形结合数学思维方式有助于理解探究有形数学概念本质特征.弄清概念逻辑结构有助于寻找概念生长点.摸清学生认知最近发展区域，有助于激发学生认知冲突，提高学生合作探究兴趣.加强概念变式有助于学生理解概念本质.以生为本是我们应提倡的教学理念，但如何在有限时间内，既保证概念完整呈现，又留给学生足够思维时空，的确值得探讨.鱼与熊掌不可兼得，留谁舍谁，望大家评论.下面通过课堂的教学进行说明.

【关键词】数学思维;多媒体演示;理念更新

1.站在授课者视角对课例“正态分布”品课

教学片段一 引导学生观察小球从高尔顿板上方下落过程

师：投放小球前，知道小球落在哪个槽中？生：不知道

师：给槽编号，落槽中小球堆积高度反映什么？生：落槽内球频数.

师：如何用所学知识研究落在各小槽内小球分布情况？生：无回应

师：是否记得在必修3中，如何研究居民人均用水问题的吗？

生：哦，用频率分布直方图.师：你们真棒！

教学片段二多媒体演示必修3居民用水问题频率分布直方图

师：如何用样本频率分布直方图估计总体分布密度曲线？

生：用频率分布折线图.

师：很好，当样本容量越来越大，频率分布折线图有何变化趋势？

生：越来越接近总体分布密度曲线.

师：答得很好.实际生活中，常用频率分布直方图及频率分布折线图，研究离散型随机变量分布规律.如可用频率分布直方图研究各种高考成绩分布规律，预测高考分数线？

多媒体演示：2013年某中学高考数学成绩频率分布直方图及折线图.

师：居民平均用水量及高考成绩频率分布直方图，有什么共同特点？

生：他们频率分布直方图皆具有中间高，两边低特点.

师：观察得很好，下面我们再借助高尔顿板试验观察一下，当试验次数增加，或组距不断缩小时，频率分布直方图及频率分布折线图有什么变化？

片段一二品课 授课教师了解正态分布邻近种概念是离散型随机变量分布，种差是离散与连续差异.欲跨越由离散到连续认知障碍，须从学生已知的离散型分布研究方法入手.借助实验及数形结合方法，按照回顾旧知——动态生成正态分布密度曲线——数形结合探究密度曲线特征——实际应用正态分布性质的顺序，设置问题主线.逐步引导学生揭开概念抽象面纱，探究其本质.教师寻找学生认知熟悉点：必修3中居民人均用水量及高考数学成绩分布问题创设情境.激发学生探究兴趣.

教学片段三 教师借助几何画板演示：引导学生思考当试验次数增加或组距不断缩小时，频率分布折线图有什么变化特点？

师：试验次数增加或组距不断缩小时，频率分布折线图像什么？生：象编钟.

师：这条钟形曲线就是正态分布密度曲线.十八世纪数学家们经过几十年努力，应用求导、对数、无穷级数、数学积分，变量代换等数学方法，推导出其函数解析式：

φμσ（x）=1σ2πe-（x-μ）2σ2（其中μ与σ是参数，是样本估计的均值及标准差）

片段三品课 教师借助高尔顿板演示.引导学生直观感受：①频率直方图共同特征.②样本容量增大，频率折线图逐步逼近连续光滑“钟型”曲线.帮助学生跨越由离散到连续认知障碍，从形上感知正态分布密度曲线，并激发学生探究欲望，何种随机变量服从正态分布？正态分布密度曲线有何特征？

教学片段四

师：小球很小时，如何更具体刻画小球位置呢？生：无回应.

师：去掉高尔顿板最下边球槽，沿高尔顿板底部建立水平坐标轴，刻度单位为球槽宽度，若用X表示小球第1次与高尔顿板底部接触时坐标，则X是何种随机变量？生：连续型随机变量.

师：如何计算小球落在区间[a，b]内概率？生：无应答.

师：如何用频率分布直方图计算概率？生：算面积.

师：好，在高尔顿实验中，如何算小球落在[a，b]内概率？生：算曲边梯形面积.

师：当试验次数增加或组距不断缩小时，如何用钟形曲线计算概率？

生：算定积分.师：很好.

片段四品课 形象感知正态分布“钟形”曲线后，教师设问，引导学生抓“联系”搭建脚手架，在学生无回应时，演示去掉高尔顿板最下边球槽，沿高尔顿板底面建立水平坐标轴，刻度单位为球槽宽度. 若用X表示小球第1次与高尔顿板底部接触坐标.小球很小，可视为质点，由小球落下的随机性，引导学生认知X是随机变量，可以坐标方式研究小球分布，引导学生搭建第一个脚手架：坐标系，以坐标轴上点稠密性，帮助学生跨越离散到连续认知障碍.紧接着启发学生类比离散型随机变量概率计算，算曲边梯形面积，进而算定积分来研究连续性随机变量在区间[a，b]上概率.引领学生搭建第二个脚手架：算定积分.为构建正态分布概念做好铺垫.

授课者在学生认知最近发展区域内，引领学生搭建脚手架，并根据概念逻辑结构，创设激发学生认知冲突的教学情境，提供大量与新概念相关事例及种属概念，巧妙借助于多媒体演示，数形结合由特殊到一般，具体到抽象，已知到未知，引导学生感受概念形成过程，观察、分析、辨别、揭开新概念抽象面纱，突破教学难点，这是本节课亮点之一.恰当教学情境创设及教学方法选择带来和谐顺畅师生互动氛围，促进了教学目标实现.

教学片段五

师：正态分布中参数μ和σ可以用样本均值和标准差去估计，正态分布完全由μ和σ确定.两个参数对正态曲线有何影响呢？

多媒体演示：引导学生观察：若σ固定，图像随μ值的变化而沿x轴平移.

若μ固定，曲线的形状由σ决定：σ越小，曲线越“高瘦”表示总体分布越集中.σ越大，曲线越“矮胖”表示总体分布越分散.

师：当μ=0，σ=1时称x服从标准正态分布，记X～N（0，1）

片段五品课

借助多媒体演示，形象直观引导学生观察出μ与σ对正态分布密度曲线影响，了解μ与σ两个参数真实意义，促进学生对正态分布本质深入了解.此处可为数形结合突破教学难点之亮点.

课例品课 从五个教学片段可见，教师设问目的性明确，设问方式恰当，能适时引领，但给学生的思维时间较少，对所产出现的疑惑问题直接给出解释，学生始终被老师牵着走.这也是这节课无思维创新的原因. 从教学呈现品，结构清晰，主线明确，授课者语言精确简洁，板书设计突出概念关键点.多媒体使用恰当，能帮组学生跨越认知障碍，理解概念本质，把握正态分布曲线特征，对实现教学目标起到辅助作用.从课程性质品，学习目标符合教学大纲及学生特点，教学内容尊重教材，容量过大.学习目标检测以习题呈现，留给学生思考时间少，教师对反馈评价少，多直接给答案.但也只能如此，才能在一节课内完整呈现正态分布概念，此处值得同行商讨.教师适时应用正态分布曲线特征，进行德育渗透是本节课一亮点，反映授课者具有培养学生数学应用意识及综合素养的教育教学理念.从课程文化上品，授课者设问皆能激发学生认知冲突，指明探究方向.其中教学片段六中设问，激发认知冲突最激烈，课堂氛围热烈和谐，学生探究兴趣很浓，教师评价也及时，但当再度设问学生困惑时，教师没深入引领而直接解释，学生失去产生创新思维机会，传统灌输法教学使课堂合作探究氛围消失.这是教师受时间限制，对课堂预设外问题处理不当的结果.本节课问题环环相扣，反映授课人逻辑思维严谨.能多次激发学生认知冲突，反映授课人熟知学生认知特点，善于引领学生思考.数形结合，成功组织合作探究是本节课特色.

2.站在学生视角对课例品课

教学设计片段：正态分布是学生在学习离散型随机变量及其分布基础上，高中阶段唯一所学连续型随机变量分布.学生学习正态分布内容有三个认知障碍：①由离散型随机变量到连续型随机变量的认知飞跃.②生活中何种随机变量服从正态分布.③正态分布曲线有何性质？如何帮助学生成功跨越认知障碍，理解正态分布概念，已成为一场挑战.

片段品课： 从教学设计可见，授课人对学生已有认知、概念生长点及认知特点做过充分研究，为后面选择教学情境及方法做好铺垫.

课堂反馈练习：①若随机变量X～Nμ，σ2则px≤μ=_______

②设随机变量X～N2，32若p（ξ>c+2）=p（ξ

学生视角品课：学生大多能在三十分钟内注意力集中，并参与课堂活动，积极思考，合作探究.但记笔记同学不多，这恰是多媒体演示造成的弊端.在概念探究活动中学生没提出问题，其原因有二：一是教师设问面较全，二是学生无足够时间思考并提出问题.教师对预设外问题处理有不当之处.课容量大，学生无自主学习时间.借助多媒体演示，学生对正态分布曲线特征把握比较顺畅，困惑仅在于对称性理解.这说明数形结合有助于学生把握概念本质，但概念本质理解离不开数学分析推理论证，而这恰是学生能力的弱项，有待训练提高.学生从本节课中学到了数形结合探究数学概念本质的方法.但由于留给学生课堂练习时间不足五分钟，故对练习中错误，教师无时间破释，仅给出答案.从学生错误可分析出，学生对正态分布曲线特征缺乏变式运用能力，此能力的锻炼提高.离不开构建概念变式习题串.如何培养学生构建概念知识网及变式习题串的能力，值得同行进一步探究.

3.站在听课者视角对课例品课

本节课教学程序合理，问题主线明确，层次清晰，巧用多媒体演示实验，数形结合，帮组学生跨越认知障碍，理解正态分布概念，把握正态分布曲线性质.板书设计突出关键词.教师成功引领学生合作探究，课堂氛围和谐热烈，但学生完全被教师思维所引领，缺乏足够独立思维时空，学生没提出预设外问题，仅是困惑后被灌输，无创新思维.整节课容量大，时间紧，练习少，学习方式及学法指导方式有待改进.课中教师提倡“以生为本”的教学理念，但苦于时间限制，无法尽善尽美，前半段教学体现新理念，后半段回归传统教学.其原因令同行深思：一节课是确保数学概念完整呈现重要，还是留给学生足够探究时空重要.这恰是同行值得探讨之问题.

4.我的积累及理念更新

品课活动有利于教师教学艺术及综合素养迅速提升，学校应将品课活动与教学检查同时进行，列入年度教学计划，每学年开展一次，并将品课材料汇编成册，留于教学研究及校本资源研发.

【参考文献】

[1]宋运来编著.什么是最有效的教学.江苏人民出版社，2009

[2]沈毅，崔允漷主编.课堂观察.华东师范大学出版社，2008.