数形结合在解题中的运用

韦云校

数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。数形结合思想主要解决方程的根的个数、求参数取值范围和解决几何问题。

一、数形结合思想在解决方程的根的个数、不等式解集的问题中的应用

例1（1）已知：函数f（x）满足下面关系.

①f（x+1）=f（x-1）；

②当x∈[-1，1]时，f（x）=x2.

则方程f（x）=lgx解的个数是（ ）

A.5 B.7 C.9 D.10

（2）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式f（x）-f（-x）x<0的解集为（ ）

A.（-1，0）∪（1，+∞）B.（-∞，-1）∪（0，1）

C.（-∞，-1）∪（1，+∞）D.（-1，0）∪（0，1）

分析：（1）在同一坐标系中画出y=f（x）和y=lgx的图象，由它们交点个数判断方程的解的个数；（2）f（x）-f（-x）=2f（x），画出y=2f（x）的大致图象，f（x）与x异号的区间，即为不等式的解集.

（1）由题意可知，f（x）是以2为周期，值域为[0，1]的函数.

又f（x）=lgx，则x∈（0，10]，画出两函数图象，

则交点个数即为解的个数.又∵lg10=1，故当x>10时，无交点.∴由图象可知共9个交点.

（2）∵f（x）为奇函数，

∴f（x）-f（-x）=2f（x）

画出y=2f（x）的大致图象.

如图，则f（x）与x异号的区间

如图阴影所示，

∴解集为（-1，0）∪（0，1），故选D.

评析：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.

（2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答.

（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标.

二、 数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用

例二：已知a是实数，函数f（x）=2a|x|+2x-a，若方程

f（x）=0有且仅有两个实根，则实数a的取值范围是

__________________.

解析 易知a≠0，f（x）=0，即2a|x|+2x-a=0，

变形得|x|-12=-1ax，

分别画出函数y1=|x|-12，y2=-1ax的图象（如图所示），由图易知：

当0<-1a<1或-1<-1a<0时，y1和y2的图象有两个不同的交点，

∴当a<-1或a>1时，方程f（x）=0有且仅有两个实根，

即实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）.

评析：解决方程的根的问题，通常转化为函数的图象的交点问题.在解决函数图象的交点问题时，常用数形结合，以“形”助“数”，直观简洁.

规律方法总结

1.利用数形结合解题，只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象.

2.数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法

与技巧，特别在解选择题、填空题时更方便，可以提高解题速度.

3.数形结合思想常用模型：

一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式（或向量的模、复数的模），点到直线的距离公式等。

【参考文献】

[1]张立娟.巧用数形结合法解题[J].今日科苑.2007（12）