例谈优化解题方法，回避繁琐讨论

崔纯

在高中数学教学中，经常要用到的分类讨论的思想成为数学教学的热门话题，也是高考命题的热点问题。高中生虽然了解分类讨论思想，但缺乏灵活运用能力。事实上，有不少含有分类因素的数学试题，如果我们事先对问题深入研究，挖掘其潜在的信息，并能灵活地采用恰当的解题方法，则往往可以避免繁琐讨论步骤。下面我们通过几个例题来谈优化解题方法，从而巧妙回避繁琐讨论。

一、“反客为主”，变换主元法

数学中有的多元参数问题，若按常规思路确定主元，会导致问题复杂化，若能针对题目的结构特征，改变思考的角度，选择某参变量为主元，反客为主，往往可使问题化难为易，迅速获解。

例1.已知 ，若不等式 对上述 都成立，解此不等式。

解析：此题是关于 的一元二次不等式，通常对参数 进行讨论求解，显然繁琐，不如将 看做主元，化归成关于 的一元一次不等式，构造函数 。问题转化成：当 恒成立。

故只要满足 ，解得

所以原不等式的解集为

二、分离参数，利用函数性质求解

已知方程或不等式的解的特点，求参数的取值范围，是高中数学的一个重点、难点，也是高考的热点问题.此类题解法灵活多样，其中将参数与变量分离于等式或不等式两端，通过求变量函数的值域（最值）求参数的范围，是一种不错的方法。

例2.已知 是实数，函数 ，若函数 在区间 上有零点，求 的取值范围。

解析： 在区间 上有零点

在区间 上有解

在区间 上有解

在区间 上有解

于是问题转化为求函数 在 上的值域

设 则 ，函数

当且仅当 时，等号成立。

， ，

的取值范围是

通过分离参数，转化为求函数值域问题，巧妙回避讨论，省时省力。

例3.奇函数 是R上的增函数，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。

解析：当 时，

是R上的奇函数、增函数

恒成立

= ， ， 的取值范围是

解决此类题型时，一般先分离参数，化成 、 等恒成立问题，再利用 、 求出参数范围，巧妙简化解题过程。

三、挖掘内涵，有效回避讨论

例4.已知函数 ，是否存在实数 使得函数 的定义域、值域都是 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。

解析：常规的思维是对 和 （函数 的对称轴是 ）的大小进行繁琐的讨论，惟其如此，才能确定函数的值域。但如果我们先看看函数 的值域， ，即函数值没有小于 的，即 ，从而函数 在区间 上是增函数，所以

解得 又因为 ，所以 的值不存在。

此题依据“函数在整体区间上的最小值不大于在局部区间上的最小值”这一事实，挖掘出 ，从而避免讨论函数在所给区间上的单调性。

四、“正难则反”，利用补集思想

解题一般总是从正面入手，习惯正向思维，但有些数学问题如果从正面入手，求解繁琐、难度较大。在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，这样就能化难为易，化隐为显，这就是“正难则反”的解题策略。即考虑问题的相反方面，结合补集思想，利用“对立事件”，往往能开拓解题思路、简化运算过程，下面举例说明。

例5.已知集合A和集合B各含9个元素。 含有2个元素。求同时满足下面条件的集合C的个数。① ，且 中含有三个元素。②

解析：因为 较为抽象，如果直接法解此题，要找到分类标准，依次进行分类分步求解。而 容易掌握，故从条件的反面入手，显得简捷。

的元素个数16个，故满足条件①的集合 的个数共 个，不满足条件

②，即 的集合 的元素，只能从属于B但不属于A

的7个元素中取得，有 个，因此所有集合 的个数是 - =525（个）

例6.随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是多少？（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）.

解析：正面解答过程繁琐，所以我们从对立面入手。设事件 为“至少有2位同学在同一月出生”，则 的对立事件 为“所有人出生的月份“所有人出生的月份均不相同”，则

五、数形结合，“以形助数”

华罗庚先生说：“ 数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好 ”。数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多問题能迎刃而解。在高中数学解题过程中，“数”与“形”是相互依赖、相互渗透的。因此，在解题过程中要将二者结合起来，才能更好地提高解题的正确性和效率。数形结合在中学数学中主要应用于以下几 个方面：集合运算问题、方程根的个数问题、三角函数问题、最值问题、线性规划问题、复数问题和不等式证明等。这里我们就方程根的个数问题给予举例说明。

例7.关于 的方程 只有一个实根，求 的取值范围。

解析：本例转化为两个函数 和 的图像只有一个交点的问题。由于函数 过定点（0，1）且绕定点（0，1）转动的直线，借助于图像可直观看出与半圆一个交点时斜率 的范围。

如图所示，可以直观看出 的取值范围为：

数学在漫长的发展过程中不仅建立起严密的知识体系，而且形成一套行之有效的思想方法。巴甫洛夫有一段名言：“科学是依赖于方法的进步为前提的”，这句话很有哲理。方法每前进一步，和每上一个台阶一样，它会为我们展开更为广阔的视野，因而看到前所未有的现象。当前高考命题中层出不穷的新颖题型对思维模式、思维容量、思维层次的要求较高。因此，运用数学思想，优化解题方法，势在必行。这也要求教师在教学过程中，注意对数学思想方法的引导和渗透，让学生在潜移默化中接受。

参考文献：

[1]李正兴.高中数学实战秘笈[M].上海科学普及出版社，2012，6.

[2]郝世富，张振华.避免或简化分类讨论的方法和技巧[J].数学教学通讯，2004（12）：95-97