速解多面体外接球问题

闫银翠　王丽敏

【摘要】近几年高考中，有关多面体的外接球的问题，常常是困扰学生的难点.外接球的球心在哪？半径是多少？解决了这两个问题，外接球的问题就迎刃而解了.根据不同类型的多面体介绍了三种快速找到外接球的球心和半径的方法：补成长方体和正方体、利用直角三角形的性质、利用线面垂直的性质.

【关键词】外接球；补体；直角三角形；线面垂直

1.将多面体补成长方体或正方体

我们知道对于长方体或正方体而言，它的外接球的球心是其体对角线的交点，半径是体对角线长度的一半.如果我们能将一个多面体补成一个长方体，使其顶点与长方体的八个顶点中的几个重合，则这个多面体的外接球就是其对应的长方体或正方体的外接球.

例1 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，

且侧棱长为3，则其外接球表面积是 .

分析 因为三条侧棱两两垂直且侧棱长相等，所以可以将该

2.利用直角三角形的性质

我们知道在直角三角形中，斜边上的中点到三个顶点的距离相等，若一个三棱锥有两个面是直角三角形且它们的斜边重合，则该斜边的中点就是外接球的球心，斜边的一半即为外接球的半径.

例2 已知一个三棱锥的三视图如图5所示，其中主视图、俯视图全是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积是 .

分析 将三棱锥还原在和它长、宽、高相等的长方体中，如图6所示.易知，△ABC和△BDC是以BC为公共边的等腰直角三角形，则其外接球的球心为BC的中点，半径r=BC2=3，所以V球=43πr3=36π.

例3 如图7是一个空间几何体的三视图，其中俯视图为直角三角形，则该几何体的外接球的体积为.

分析 将三棱锥还原在和它长、宽、高相等的长方体中，如图8所示.易知，CD⊥平面ABC，所以CD⊥AC，故△ABD和△ACD是以AD为公共边的直角三角形，则三棱锥A-BCD外接球的球心为AD的中点，半径r=AD2=2，所以V球=43πr3=823π.

3.利用线面垂直

我们知道在三角形中到三个顶点距离相等的点是三角形的外心，那么在空间中到三角形三个顶点距离相等的点的集合就是过外心所作的三角形所在平面的垂线.因此，一个多面体外接球的球心一定在过其某个三角形面的外心所作的垂线上.

例4 已知三棱锥的三视图如图9所示，则它的外接球的表面积为.

分析 将三棱锥还原在和它长、宽、高相等的长方体中，如图10所示.易知，Rt△BCD的外心为斜边CD的中点O，显然AO⊥平面BCD，故三棱锥A-BCD外接球的球心在直线OA上，又OA=OB=OC=OD=1，所以三棱锥A-BCD外接球的球心为O，半径r=1，所以S球=4πr2=4π.

例5 （2012年新课标卷）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）.

A.26 B.36 C.23 D.22

分析 三棱锥S-ABC外接球的球心O在过△ABC的外心O1且垂直平面ABC的垂线上.故OO1⊥平面ABC，O1C=33，O1O=OC2-OO21=63，所以三棱柱的高SD=2O1O=263，因此VS-ABC=13S△ABC×SD=26.故选择A答案.