谈高中数学解题教学中的释疑策略

2015-05-30 10:48庄元奋
中学教学参考·理科版 2015年3期
关键词:高中数学问题

庄元奋

[摘要]高中数学学习中学生会提出很多问题,这些问题往往是学生经过深思熟虑之后仍然不能解决的学习难点,值得师生去探讨,寻找解决问题的一般方法.面对学生的问题和困惑,教师应既能答疑解惑,又能使这些问题发挥更大的作用,使更多学生受益.以最近学生问的一道题为例探析高中数学教学中的释疑策略.

[关键词]高中数学 释疑策略 问题

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058(2015)080018

一、引导学生主动探究

《普通高中数学课程标准》倡导积极主动、勇于探索的学习方式.笔者十分注重学生学习能力和思维能力的培养,在实践中充分结合自己的教学风格,引导学生进行有意义的探索,在面对学生的问题时,不直接告诉学生答案,而是引导学生去探索,鼓励学生多尝试,不怕失败,解决问题后不满足问题本身,多联系与此有关的问题.最近有两位成绩不错的学生问了笔者这样一道题.

【例1】 椭圆x2a2+y2b2=1,上顶点A(0,b),若直线l与椭圆相交于M、N(不同于A),设直线AM的斜率为k1,直线AN的斜率为k2,若k1·k2=-1,求证:直线l过定点,并求定点坐标.

笔者没有回答这个问题,而是考虑到学生的知识基础和运算能力等,将这个问题中的椭圆特殊化,引导学生将椭圆方程变为x24+y2=1,

让学生思考.这样会避免繁杂的演算,使学生敢于尝试.然后,笔者问学生:“能否猜出定点坐标呢?”这时学生甲说:“我猜定点在y轴上.”学生乙说:“如果定点在y轴上,那么当M、N关于y轴对称时直线MN与y轴的交点就是所求的定点.”两位学生判断直线的斜率分别为±1,求得这个点为(0,-35).通过画图简单求解,猜出答案,猜想是学生学习过程必不可少的环节.接着,笔者又问:“这个结论只是猜想,一定正确吗?”两位学生又通过直线AM取不同的斜率验证出直线MN都过定点(0,-35).如果是求定点坐标问题,这样通过特殊的两条直线MN求出交点就可以了,但作为证明题还不能算完成.于是,笔者问:“这只是验证结论是成立的,你们能给出证明吗?”学生陷入沉思,纷纷去尝试证明,根据题目的条件AM⊥AN,两位学生讨论决定设其中一条直线的斜率为k,结果给出了以下的证明方案.

二、引导学生多联系,发现问题本质

问题解决之后,教师要根据问题反问学生,使得学生对问题的理解更为深刻,同时也培养学生主动去发现问题、勇于探索问题的习惯.如笔者给出例1的逆命题作为推论,让学生去思考探究.

推论1 已知椭圆x24+y2=1,上顶点A(0,1),过定点的直线l与椭圆相交于M、N(不同于A),求证:AM⊥AN.

在前面例题解答的基础上,学生很快就给出了问题的解答,同时对这个问题产生了很大的兴趣.笔者提问两位学生:“在双曲线或抛物线中有无类似的结论呢?”经过一番讨论,学生得到在抛物线中的如下命题.

【例2】 设坐标原点为O,抛物线y2=2px与不过坐标原点O的直线l交于A、B两点,则OA·OB=0的充要条件是直线l过定点(2p,0).

例2概括了例1和推论1中的结论,笔者引导学生利用例1中的方法证明例2中的必要条件,利用推论1中的方法证明例2中的充分条件.与椭圆相比,抛物线中的计算过程要简单得多,笔者没有给任何提示,两位学生就完成了例2的证明.上述两道例题与推论都是经典的解析几何题,教师应当多引导学生探究,当然,“特性”只是我们自己找到的规律,教材中没有把它们作为定理,考试时还要加以证明.最后,笔者留给这两位学生两个探索性问题供学生带回去探究.

问题1 设坐标原点为O,抛物线y2=2px与不过坐标原点O的直线l交于A、B两点,且OA·OB=c(c为常数,且c≥-1),问:直线l是否过定点?如果过,求定点坐标;如果不过,说明理由.

解析:这是将问题推广到了更为一般的情况,直线过定点(p±p2+c,0).

问题2 已知抛物线y2=2x上一点M(x0,y0),是否存在定点P,使过P的直线l与抛物线y2=2x交于A、B两点,且OA·OB=0恒成立,若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.

解析:利用前面例题的解题方法可以求得到定点P(x0+2,-y0)满足题意.

到这里才算完成释疑,笔者从学生所问的椭圆问题逐渐拓展、延伸到了抛物线问题,引导学生学会在学习中联系相关知识,达到“知一点明一片”的效果.

三、释疑后的体会

面对学生提出的疑难问题,教师首先要根据学生的情况,抓住学生的知识生长点,给出与此相关的较简单的问题让学生去探究,然后逐渐向问题靠近,从而解决问题;其次联系与原题有关的逆命题或类比推论,作为拓展训练;最后,给学生一些一般化的变式作为巩固练习.通过释疑过程,使学生掌握解决问题的方法,并能举一反三、触类旁通.

(责任编辑 钟伟芳)

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