凸函数的几个定义及关系

程双青

摘要：凸函数是一重要的概念，它在许多学科里有重要的应用，在研究生入学试题中，也时有涉及.本文主要是概述凸函数的几种不同的定义及它们的关系.

关键词：凸函数；严格凸函数；等价

1.凸函数几种不同的定义

定义1.1.1（凸函数）设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1），总有

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）（1.1）

则称f为I上的凸函数.

如果（1.1）中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数[1].

现代数学多数采用这种定义，除此之外，还有其他形式的定义.

定义1.1.2f（x）在区间I上有定义，f（x）称为I上的凸函数，当且仅当：x1，x2∈I，有

fx1+x22≤f（x1）+f（x2）2（1.2）

如果（1.2）式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数[2].

定义1.1.3f（x）在区间I上有定义，f（x）称为是凸函数，当且仅当x1，x2，……，xn∈I有

fx1+x2+……xnn≤f（x1）+f（x2）+……+f（xn）n（1.3）

如果（1.3）式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数的定义[2].

定义1.1.4f（x）在区间I上有定义，当且仅当曲线y=f（x）的切线恒保持在曲线以下，则称f（x）为凸函数.若除切点之外，切线严格保持在去线的下方，则称f（x）为严格凸函数[3].

2.几个定义的关系

定理2.1.1定义1.1.2与定义1.1.3等价

证明1.定义1.1.2定义1.1.3

这里采用反向归纳法，其要点是：（1）证明命题对于自然数的某个子序列成立；（2）证明命题当n=k+1成立时，必对n=k也成立.

1由式（1.2）知式（1.3）当n=2时成立，现证n=4时式（1.3）成立

事实上，x1，x2，x3，x4∈I，由式（1.2），我们有

fx1+x2+x3+x44=x1+x22+x3+x422

≤fx1+x22）+f（x3+x422

≤f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）4

此即式（1.3）对n=4成立，一般来说，对任一自然数k，重复上面方法，应用（1.2）式k次，可知

fx1+x2+……+x2k2k≤f（x1）+f（x2）+……+f（x2k）2k

这说明式（1.3）对一切n=2k皆成立.

2[证明式（1.3）对n=k+1成立时，必对n=k也成立]记

A=x1+x2+……+xkk，则x1+x2+……+xk=kA，所以

A=x1+x2+……+xk+Ak+1

由式（1.3）对n=k+1成立，故

f（A）=fx1+x2+……+xk+Ak+1≤f（x1）+f（x2）+……+f（xk）+f（A）k+1

不等式两边同乘以k+1，减去f（A），最后除以k，我们可以得到

fx1+x2+……+xkk≤f（x1）+f（x2）+……+f（xk）k

此式表示（1.3）对n=k成立.

1.定义1.1.3定义1.1.2显然

定理2.1.2若f（x）连续，则定义1.1.1、1.1.2、1.1.3等价

证明1（定义1.1.1定义1.1.2、1.1.3）在定义1中令λ=12，则由式（1.1）得fx1+x22=f[λx1+（1-λ）x2]

≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）

=f（x1）+f（x2）2（x1，x2∈I）

此式表明（1.2）式成立，所以定义1.1.1蕴涵定义1.1.2，而定义1.1.2、1.1.3等价，故定义1.1.1也蕴涵定义1.1.3

2（定义1.1.2、1.1.3定义1.1.1）设x1，x2∈I为任意两点，为了证明式（1.1）对于任意实数λ∈（0，1）成立，我们先来证明：式（1.1）当λ为有理数时则λ=mn∈（0，1），（m

f[λx1+（1-λ）x2]=fmnx1+1-mnx2

=fmx1+（n-m）x2n

=fx1+x1+…+x1mn+x2+x2+…x2n-mn、

≤f（x1）+f（x1）+…f（x1）mn+f（x2）+f（x2）+…+f（x2）n-mn

=mf（x1）+（n-m）f（x2）n

=λf（x1）+（1-λ）f（x2）

λ为有理数的情况获证.

若λ∈（0，1）为无理数，则存在有理数λn∈（0，1），（n=1，2，…）使得λn→λ（当n→∞时）

从而由f（x）的连续性

f[λx1+（1-λ）x2]=f{limn→∞[λnx1+（1-λn）x2]}

=limn→∞f[λnx1+（1-λn）f（x2）]

对于有理数λn∈（0，1），（n=1，2，…），上面已证明有

f[λnx1+（1-λn）x2]≤λnf（x1）+（1-λn）f（x2）

此式中令n→∞取极限，联系上式，有

f[λx1+（1-λ）x2]≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）

即式（1.1）对任意无理数也成立λ∈（0，1）也成立.

这就证明了定义1.1.2、1.1.3蕴涵定义1.1.1.

注上述证明里可以看到从定义1.1.1定义1.1.2、1.1.3无需连续性，定义1.1.2、1.1.3定

义1.1.1才需要连续性，可见定义1.1.1强于定义1.1.2、1.1.3.

定理1.2.3若f（x）处处可导，则定义1.1.1，定义1.1.2，定义1.1.3，定义1.1.4等价.（作者单位：西安汽车科技职业学院）

参考文献：

[1]华东师范大学数学系编，数学分析（上）[M].北京：高等教育出版社.2001.148—149.

[2]裴礼文编，数学分析中的经典问题与方法[M]].北京：高等教育出版社.2006.269—270.

[3]企方勤编，数学分析（上）[M].北京：高等教育出版社.1986.132—133.

[4]程士宏编.高等概率[M]北京：北京大学出版社.1996.

[5]赵海清，刘瑞元编.有关凸函数的一个定理改进证明.纯数函数与应用数学[J].2004.386—388.

[6]刘三阳，于力，李广民编.数学分析选讲[M].北京：科学出版社.2007.77—89.

[7]Tom M.Apostol，Mathematical Analysis，Second Edition，Addison Wesley/Pearson[M]，2004.

[8]Walter Rudin，Principles of Mathmatical Analysis，Third Edition，机械工业出版社[M]，2004.