浅谈本科基础数学教学中分析与代数知识的融合

徐登明

[摘 要]大学本科基础数学教学主要包含分析，代数与几何以及概率与统计三个方面。从实际教学经验出发，阐述本科基础数学教学中分析与代数知识融合教学的必要性，通过实例说明这种融合在教学过程中的具体体现，并探讨教学中如何实现分析与代数知识的融合。

[关键词]代数 分析 知识融合

[中图分类号] G642；O15 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2015）04-0117-02

大学本科基础数学教学主要包含分析，代数与几何以及概率与统计三个方面。目前国内无论是“高等数学”教材，还是数学专业的数学分析和高等代数课程，基本上都是微积分和线性代数各成一套封闭体系，这使得学生对数学的整体结构缺乏应有的了解[1]，同时也严重影响了大学生数学综合能力的培养。然而，数学本身是一门逻辑性和系统性很强的科学。这就需要我们在教学过程中注重各数学课程之间的相互联系并进行融合教学，从而让学生从整体上学习数学知识，构建完整的数学知识体系，真正做到能够利用数学知识学习其他学科，最终达到利用所学知识解决实际问题的目的。本文根据作者的教学经验，阐述本科基础数学教学中分析与代数知识融合教学的必要性，通过实例说明这种融合在教学中的具体体现，并探讨如何在教学中实现分析与代数知识的融合。

一、教学中分析与代数知识融合的必要性

（一）数学本身发展的一个明显趋势是各学科之间互相渗透、互相促进更为迅速，分析、代数及几何之间的界线越来越模糊，而它们的共同基础却越来越明确。[1]在实际教学特别是数学专业学生的数学教学中，分析与代数的知识并不是孤立的，它们之间有着十分紧密的联系。比如，分析中出现的很多集合都是代数学中向量空间的例子，例如闭区间上所有可积函数构成的集合就是一个最典型的无限维向量空间的例子，而积分运算就是一个线性映射。另一方面，利用向量空间和线性映射的语言又可以简化连续函数相关性质的叙述。再比如，在微积分中多元函数这一章节的教学中，利用矩阵的相关知识能让学生更好的理解可微复合映射的链式法则。

（二）后续数学知识的学习离不开分析和代数知识的融合运用。比如，在微分方程这门课的讲授过程中，证明线性微分方程解的存在唯一性定理时，要用到数学分析中级数敛散性的知识；而在讨论微分方程的解的结构时，又要用到向量空间和线性映射的相关知识。再比如泛函分析课程中内积空间这一章，表面上内积空间是向量空间上多了一个内积，这完全是线性代数的内容。但是，很多内积空间的例子都来自于分析中的相关内容。例如，由闭区间上所有连续函数构成的集合就可以通过定义某种内积使其构成一个内积空间。

（三）在实际教学中强调分析和代数的相互融合，可以让学生将数学作为一个整体进行学习，从而提高学生的数学素养。同时，在实际教学中，利用两种不同的知识对同一问题从不同的角度进行分析，这有利于培养学生多元化思维方式。

二、分析与代数知识的融合在实际教学中的体现

在实际教学过程中，有不少问题既可以利用分析的知识解决，也可以利用代数的知识解决，有的甚至还需要同时利用分析和代数知识才能解答。下面我们通过一个例子来说明分析与代数知识的融合在实践教学中的具体体现。

关于这个例子，我们最先想到的是利用数学归纳法，这种方法高中生都会。但是随着次幂的增加，要猜想此类数列的通项公式并不容易。下面介绍两种不同的解法，这两种方法都可以避免猜想数列的通项公式，同时还能计算出自然数的任意次幂的求和公式。

方法一：借助泰勒展开式求解

在上述两种解法中，方法一利用了泰勒公式的相关知识巧妙的得到了数列的通项公式，体现了分析课程本身各个知识点之间的紧密联系。方法二不但涉及了代数课程中多项式，向量空间和线性映射的相关知识，而且还利用了分析中数列和积分等内容，这一方法充分体现了代数与分析知识的有机融合。另外，该例题利用两种完全不同的方法对同一问题进行解答，体现了风格迥异的两种思维方式，这对培养学生多元化的思维方式也有着十分积极的作用。

三、实际教学中如何做到分析与代数知识的融合

要做到在教学中实现分析和代数知识的相互融合，笔者认为需要做到以下三点：

（一）教师的数学知识体系必须相当完善。这包括两个方面：一是需要教师对分析和代数的知识都理解得十分透彻；二是需要教师对数学专业各课程内容都有非常全面的了解。俗话说“要给学生一碗水，教师得先有一桶水”。只有具备这些素质后，教师才能将数学知识作为一个整体进行教学，才能在教学过程中有效融合分析和代数的知识解决实际问题。

（二）必须将分析和代数的知识作为一个整体进行，这就需要合理安排教学顺序。现行课程安排分析和代数授课都是独立授课，无视两类知识内在逻辑联系，二者在教学中的相互促进更是无从谈起。笔者认为，必须根据分析与代数知识之间的内在关系合理安排教学内容的讲授顺序。比如，我们可以先讲解代数中逻辑，集合映射，群、环、域的基本概念，多项式，向量空间和线性映射的内容，进而在此基础上讲解分析中单变量微积分，然后回过头来讲解代数中矩阵，行列式，内积空间，矩阵的约化等内容，最后讲解分析中多变量微积分。这种安排能够利用代数的知识简化微积分中一些知识的讲解，从而也能帮助学生更好的学习微积分，同时也能体现出代数知识的应用价值。另外，两种知识交叉教学也有利于学生将分析与代数的知识作为一个有机整体进行学习。

（三）教师可以在教学中多设计一些既能用代数知识解决，又能用分析知识解决，或者需要用同时用到分析与代数的知识才能解决的例子。比如，在讲解二阶递归数列通项公式的求法时，可以利用有限维向量空间的相关知识进行求解；在讲解线性微分方程组的求解时，可以举一些可以利用矩阵三角化或对角化能将方程进行简化的例子等等。

总之，在本科数学早期教学中，要特别注重分析和代数之间的内在逻辑联系，将这两类知识作为一个有机整体进行融合教学，这既能让学生将数学知识作为一个整体来学习，从而提高其数学素养为后续数学知识的学习做准备，又有利于培养学生的发散思维。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 居余马.更新工科基础数学教学内容和体系的一些问题[J].清华大学教育研究，1993，（7）.

[责任编辑：林志恒]