浅论中学数学类型题中多题归一思想

岳芳芳

数学题目的类型多，形式各异，题设和结论千变万化，真可谓“题海”.如果教师在教学过程中选择课本中比较有代表性的习题，重点培养学生形成有效的学习策略，注重引导学生自主发现许多题目虽然变化万千，但是存在着“质同形异”，可以激发学生对于这个知识不断向深层面的探索，学生所掌握的知识也可以纵向加深，轻松地提高了学生分析问题和解决问题的能力.下面我们将选择初中八年级下册课本中一道典型的课后练习题作为范本进行说明，如：

图 1已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF.（提示：取AB的中点G，连接EG）

这是课后复习题中的一道题，在八年级学生刚刚学完本章节知识，如果没有提示的情况下，想独立解决这个问题，是有一定的难度的，通过提示学生知道解决本题只需通过添加辅助线，构造全等三角形，利用正方形和全等三角形的性质及判定来进行证明、求解，关键是要有画正方形中辅助线的能力.意在考查学生对基础知识和基本技能的掌握程度，培养学生的观察、分析、概括、归纳及语言表达能力.

具体的解题过程可以如下：

证明：取AB的中点M，连接EM.

其中渗透着转化、数形结合的数学思想，我们可以引导学生解题方法是添加辅助线，构造全等三角形.

首先引导学生从条件入手，通过观察图形，自主探究，再进行合作交流，组内、组间充分讨论后，概括出作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明线段相等的结论.

本问题对于学生来讲，因为课本中原题目中已有提示告诉学生辅助线的做法，所以在解决这个问题的方面上基本没有障碍，由正方形的性质自然联想到边相等、角相等.在构建的全等三角形中得出深一层的结论.

但是当我们运用一题多变的教育方式进行一定的变形时，此时如若没有上题作为前提的话，对于学生来说这道题还可以轻易解决吗？如变形题1：

图 2如图，如果把原题中“点E是BC边的中点”改为“点E是BC边上的任意一点”，其他条件不变，请你猜想AE=EF的结论是否还能成立，并证明你的猜想.

学生通过上一问题的解决，明确要结合图形，添加辅助线，利用全等三角形的性质证明线段相等是解决本题的关键.再一次让学生进一步清晰辅助线的画法、全等三角形的判定、性质和正方形证明题之间的联系.在几何题目中，首先要读懂图形，理解题意，深入挖掘题中隐含条件，掌握方法，虽然条件或结论的形式或图形发生变化，而本质特征却不变.

经过两道题目的解决发现，以上两个题目的实质完全相同，对于题目1，学生易于由中点推断线段的相等来助于解决问题，但学生对变形1则感到无从下手.因此，对这些“质同形异”的题目，要善于指导学生抛开表面的限制因素，抓住此类题型的本质特征，相对于问题的解决就会起到决定性作用.我们进一步看变形2：

图 3如图所示，如果把原题中的“点E是BC边的中点”改为“点E是BC边的反向延长线上的任意一点”，其他条件不变，请你猜想AE=EF的结论是否还能成立，并证明你的猜想.

这个变形略有难度，着重考查学生对此类变形后图形添加辅助线解决数学问题常用方法的灵活运用，由前面问题的解决，学生会容易找到解决问题的关键是利用全等三角形的性质得出结论，本题设计意图是转变思路，增强学生的探究意识，同时要体会到数学知识不是孤立存在的，它们之间会互相转化，有着某种必然联系.随着难度的不断增大，却能体现出多题归一的思想，既能体现出知识之间的纵横联系，同时也能培养学生的思维拓展效果.尽管题目条件这样的改变，原题中结论依旧是保持不变的.

图 3如图3，AE=EF，理由为：

通过对本题的解决和几个变式的拓展，可以使学生根据不断变化的情况，对原来的思维进程和解决题目的方法作出及时的调整，把大部分学生从过去解决问题的思维定式中及时地拯救出来，大大地提高了学生对知识掌握的程度.我们启发学生对几何问题的思考和归纳，引导学生自主探索，鼓励学生合作交流，获得广泛的数学经验.变式研究之前，让学生分析母题的构造及特点，渗透解题思想，即构造正方形中常用的辅助线，利用全等证明线段的相等的理念，从特殊到一般，运用数学转化的思想，通过不断的变化，建立新与旧、已知与未知的联系，有助于学生关注问题或概念的不同方面，让他们觉得有新的理念出现，让他们学会从不同的角度看问题，因而加深对题意的理解，让学生在充分的交流与合作中加深对问题的认识.学习数学不只是为了掌握一些基本知识、基本技能，更重要的是可以提高学生的发散思维能力、化归迁移思维能力和思维灵活性，激活思维、学会思考、解决问题.

上例中的几个问题，内容和形式各不相同，但实质却是相同的，有着相同的解题规律，有着一样的解题技巧，甚至完全相同的结果，图形的变化形式多样，通过这些变化使图形化静为动，动静结合，使数学问题更具魅力，中考题中也经常出现源自课本题目的改编题，变化多端，却万宗归一.这样可以提高学生解决问题的兴趣，本问题学生可以自主探究，或小组合作，通过画图、分析、论证得出恒成立的结论.

在我们数学的课堂教学中，这种一题多变的典型题目比比皆是，形式也多种多样，有的是改变条件，保留结论；有的是保留条件，改变结论；当然也有同时改变条件和结论，甚至可以将原题中的结论和条件互换后产生新的问题.可以通过重点剖析这些典型习题，让学生分析结论，并加强锻炼引导和推广，从横向和纵向两个方向加深学生的知识体系，如若教师可以让学生理清千变万化的题海中互相牵连的关系，能使学生把相似的问题归为一类，总结解题规律，做到熟一题，通一类，脱离“题海”，数学课必将成为大部分学生的乐趣.以此可见，在复习过程中，要有意识地引导学生注意课本例题、习题以及常见考题之间的内在关系，寻找同一类的类型题，适当进行改变题设、结论，加强锻炼学生对类型题的归一练习，以不变应万变，必定可以改善现今各个学校存在的数学学困生的一些问题，也能使得原本擅长数学的学生更加充满自信地学习.

以上所谈，仅为教学之略见.事实上，在数学教学中，使学生掌握数学思想、数学学习方法、数学解题策略比学习数学知识更为重要，它有利于培养学生的创造性思维能力和思维的灵活性、深刻性，使学生从“学会”到“会学”以至于“会用”到“创造发明”，这也是数学教学的目的之一.