揭秘高考圆锥曲线离心率的几种常规求法

张利平

【摘要】离心率是圆锥曲线的一个特别重要性质，求圆锥曲线离心率的值或取值范围，是解析几何中的重点、难点，也是高考中考查的高频考点.纵观近年的高考，数学试题越来越“返璞归真”，既不需要深奥的知识，也没有高难的技巧，许多题目源于课本，由若干基础知识经串并联、类比、改造而成，正所谓“问渠哪得清如许，为有源头活水来”.通过引申、拓展、探究，做到解一题通一片，跳出题海.

【关键词】圆锥曲线；离心率；椭圆；双曲线；焦点；取值范围；曲线类型；类比方法；齐次不等式；抛物线；定义；正弦定理；余弦定理；高考题

求离心率的值或取值范围，是解析几何中的重点、难点，离心率也是历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中档次的题型.一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率、或离心率的取值范围只需要由条件得到一个关于基本量a，b，c，e的一个方程，或不等式，就可以从中求出离心率或其范围.许多题目源于课本，由若干基础知识经串并联、类比、改造而成，正所谓“问渠哪得清如许，为有源头活水来”.用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！笔者根据20多年的高中数学教学经验，小结如下方法供同学们借鉴.

一、直接求出a、c，求解离心率e

已知圆锥曲线的标准方程或a，c易求时，可利用率心率公式e=ca来解决.

结束语

离心率是椭圆、双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个高频知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件用定义求椭圆、双曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求椭圆、双曲线离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式（等式或不等式），并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，或利用椭圆、双曲线的定义，或利用a，c的齐次式关系，求解椭圆、双曲线的离心率或其范围；同时注意椭圆离心率的取值范围e ∈（0，1），双曲线离心率的取值范围e∈（1，+∞）；这是化解有关椭圆、双曲线的离心率问题难点的根本方法.