一类开放性立体几何题的解法

张科元　杨小艳

立体几何是高考的热门考题，也是必考题.虽然近几年难度有所降低，但对于学生来说还是一个难点，特别是开放式的题型，需要先找位置，再加以证明.下面给出其中一类找位置使得线面平行的题的解法，供大家参考.

方法诠释

例如图所示，在空间几何体ADF-BCE中AB//DC//FE，AB⊥面ADF，DF⊥面ABCD，面ADF//面BCE，其中M，G分别是AB，DF的中点.

（1）略；

（2）在线段AD上（含A，D端点）确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明.

方法一：观察法

对于这类在线段上找点的位置的问题，通常可以考

虑线段的中点和端点，特别是在题干部分出现中点这类的

条件时.当题干部分出现三等分点、四等分点或者其他的

等分点时，也应该考虑相应线段的等分点的位置.这种

方法是学生常用的，但对于一些点不在特殊位置的题就不适用了.

例如本题中条件给出了中点，就可以先考虑线段AD的中点，但通过分析，可以发现不满足条件，最后确定在端点A处.下面给出证明：取DC中点S，连接AS，GS，GA，∵G是DF的中点，∴GS∥FC.

又AS∥CM，AS∩AG=A，∴平面GSA∥平面FMC.而GA平面GSA，∴P点在A点处，∴GP∥平面FMC.

方法二：借助平行平面

我们知道，过平面外一点作该平面的平行线可以作无数条，且这无数条直线共面.那么像这种在已知线段上找点使得线面平行的问题，可以考虑先过定点作出与已知平面平行的面，然后再确定该面与已知线段的交点，即为所求.这种方法应该是普遍适用的.

例如本题中需要在线段AD上（含A，D端点）确定一点P，使得GP∥平面FMC.那么我们可以过定点G作平面与面FMC平行，结合面面平行的判断定理，取DC中点S，连接AS，GS，GA，易证平面GSA∥平面FMC.即作出了平面GSA，再找平面GSA与已知线段AD的交点，即为A点.

方法三：空间向量法

对于方便建立空间直角坐标系的题型，空间向量法也是解决这类开放性问题的常用方法、通用方法.但如果不容易建系，那么此法就非常困难了；如果没有学习空间向量，就更不用说了.其基本做法是：先建立空间直角坐标系，找到已知点的坐标，设所求点的坐标，使所求点在指定线段上，然后利用线面平行的条件建立向量关系式，再将关系式坐标化，就可以求出所设变量的值，问题也就得到了解决.其中建立向量关系式又有两种处理方法：一、求出平面的法向量，让所求直线上的向量与法向量垂直即可；二、将所求直线上的向量用平面内两不共线的向量线性表示即可.