审视结构形式联想公式定理

丁有刚

相似联想是指由一个事物外部构造、形状或某种状态与另一种事物的类同、近似而引发的想象延伸和连接.在数学解题中，我们要善于观察题设中的结构形式，找到某种特定的相似性，通过联想思维，把题设中看似陌生的形式与我们学过的公式、定理、法则联系起来，进而达到简便、巧妙解题的目的.下面，我们就如何“审视结构”，通过相似联想，利用这些公式定理简易解题，逐一举例说明.

联想一元二次方程根的判别式

例1 [x，y∈R+，8x+y-xy=0，]求[x+y]的最小值.

分析 若令[x+y=k]，在[8x+y-xy=0]中把“[y]”用[x，k]表示出来，则原式就变为关于“[x]”的一元二次方程，这样，我们就可联想到判别式.

解 令[x+y=k]，则[y=k-x].

[∴8x+y-xy=0]可化为：[x2+（7-k）x+k=0].

[∵x∈R][+]，∴[Δ=][（7-k）2-4k≥0].

又[k>0，k-7>0，]

[∴k≥9+42].

所以[x+y]的最小值为[9+42].

联想基本不等式

例2 [x，y∈R+，8x+y-xy=0，]求[x+y]的最小值.

分析 对已知条件稍加变形得，[8y+1x=1]，则[x+y][=][（x+y）][（][8y+1x）][=9+（yx+8xy）].这样符合基本不等式的形式结构，满足“一正，二定，三相等”的条件，可用基本不等式直接出结果.

解 ∵[x，y∈R+，8x+y-xy=0，]

∴[8y+1x=1].

則[x+y][=][（x+y）][（][8y+1x）]

[=9+（yx+8xy）][≥9+2yx?8xy=9+42].

所以[x+y]的最小值为[9+42].

联想概率模型

例3 已知[x∈0，π2]，求证[4+sin2x1+2sin（x+π4）≥2].

分析 要证原式，只需证[2+sinxcosx][≥1+sinx][+cosx，]即只需证[sinx+cosx-sinxcosx≤1].若[P（A）=sinx，][P（B）=cosx]，则[P（A+B）=sinx+cosx-sinxcosx≤1]，显然成立.

证明 由题意，[0≤sinx≤1，0≤cosx≤1]，

设独立事件[A，B]，且[P（A）=sinx，P（B）=cosx].

[∴P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=sinx+cosx-sinxcosx.]

而[0≤P（A+B）≤1].

∴[sinx+cosx-sinxcosx≤1].

∴[2+sinxcosx≥1+sinx+cosx].

∴[4+sin2x1+2sin（x+π4）≥2].

联想三角中的差角与和角公式

例4 在等边三角形[ABC]中，[D]是[BC]边的三等分点，有一束光线沿[AD]投射到[BC]边后，反射到[AB]边上[E]处，经[AB]反射到[AC]边上[F]处，证明光线最后经[AC]反射后经过[B]点射出.

解析 建立如图坐标系.

设[B（-3，0），C（3，0），]则[D（-1，0），A（0，33）].

直线[AB]的方程：[y=3x+33]①，

直线[AC]的方程：[y=-3x+33]②.

[kAD=33，kED=-33=tan∠EDC].

那么直线[ED]的方程为：[y=-33x-33]③.

①③联立解得[E（-32，332）].

设直线[EF]的倾斜角为[α]，

则[α=60°-∠AEF=60°-∠BED].

而[∠EDC=60°+∠BED]，

∴[α=120°-∠EDC].

[tanα=tan（120°-∠EDC）=-3-（-33）1+（-3）（-33）=35].

则直线[EF]的方程：[y=35x+935]④.

②④联立得[F（1，23）].

设经[AC]反射后的光线所在直线为[l]，[l]与[x]轴的交点为[H]，[l]的倾斜角为[β]，

则[β=180°-60°-∠CFH=120°-∠AFE=∠AEF]

[=∠BED=∠EDC-60°].

∴[tanβ=（-33）-31+（-33）×3=32].

直线[l]的方程为：[y=32x+332]⑤.

将[B（-3，0）]代入⑤，显然成立.

故最后光线经过[B]点射出.

联想正弦定理

例5 [α，β]都是锐角，且[2sinα=sin（α+β）]，证明：[β>α].

分析 题设条件简单，要从三角本身变换，似乎不太容易解决问题.但由[2sinα=sin（α+β）]，稍作变换，可得：[1sinα=2sin（α+β）=2sin（π-α-β）]，这让我们联想到正弦定理的形式：[asinA=bsinB=csinC]，所以可用正弦定理轻易而举地解决.

证明 在三角形[ABC]中，令[A=α，B=β，][C=π-α-β，]

由正弦定理得，[asinα=csin（π-α-β）=csin（α+β）].

∵[2sinα=sin（α+β）]，

∴[c=2a].

又[a+b>c]，∴[b>a].

∴[B>A]，即[β>α].

联想点到直线距离公式

例6 已知[mcosα+nsinα=1]，求证：[m2+n2≥1].

分析 [（cosα，sinα）]是单位圆上的一点，这点还在直线[mx+ny=1]上，显然圆心[（0，0）]到直线的距离[d≤r=1]，这样自然联想到点到直线的距离公式.

證明 由题意知，直线[mx+ny=1]过单位圆上一点[（cosα，sinα）].

则圆心[（0，0）]到直线的距离[d≤r=1]，

又[d=1m2+n2]，

∴[1m2+n2≤1]，∴[m2+n2≥1].

联想向量数量积形式

例7 已知[mcosα+nsinα=1]，求证：[m2+n2≥1].

分析 等式[mcosα+nsinα=1]左边可看作向量[（m，n），（cosα，sinα）]的乘积.而[m2+n2]正是向量[（m，n）]的模.因此可用向量数量积来解决.

证明 设[a=（m，n），b=（cosα，sinα）]，它们的夹角为[β]，

则[a?b=mcosα+nsinα=1].

又[a?b=a?][bcosβ][=m2+n2][cosβ]，

∴[m2+n2][cosβ][=1].

∴[m2+n2≥1].

联想函数的奇偶性

例8 已知[x，2y∈-π4，π4，a∈R]，且[x3+sinx-2a=0，][4y3+sinycosy+a=0].求[cos（x+2y）的值].

分析 由题意可得，[x3+sinx=2a，（2y）3+sin2y][=-2a]，两式左端结构相同，因此可构造函数[ft=t3+sint，]而两式右端互为相反数，因此可考虑用函数奇偶性.

解 由题意得，[x3+sinx=2a，（2y）3+sin2y=-2a].

设[ft=t3+sint，][t∈-π4，π4，]易知[f（t）]为奇函数，

且在[-π4，π4]上单调递增.

则[f（x）=2a，f（2y）=-2a].

∴[f（x）=-f（2y）=f（-2y）].

∴[x=-2y] 即[x+2y=0].

∴[cos（x+2y）=cos0=1].

联想斜率公式

例9 已知[f（x）=1+sinx2+cosx]，求[f（x）]的最值.

分析 [f（x）=1+sinx2+cosx]可化为[f（x）=sinx-（-1）cosx-（-2）]，这就是动点[M（cosx，sinx）]和定点[P][（-2，-1）]连线[PM]的斜率[k].又点[M（cosx，sinx）]在单位圆上，所以当[PM]与单位圆相切时[k]取最值.

解 设[f（x）=1+sinx2+cosx][=][sinx-（-1）cosx-（-2）][=k]，

则过[M（cosx，sinx）]与[P][（-2，-1）]的直线[PM]的方程为[y+1=k（x+2）]，即[kx-y+2k-1=0].

又点[M（cosx，sinx）]在单位圆上，

当[PM]与单位圆相切时，圆心[（0，0）]则直线[PM]的距离：[d=2k-1k2+1=1].

解之得，[k=0]或[k=43].

所以，[f（x）min=0，][f（x）max=43].

联想两点间距离公式

例10 已知在[△ABC]中，[BC=2，AC=2AB]，求[△ABC]的面积最大值.

分析 题设中出现“[AC=2AB]”这样的距离关系.这样可联想建立坐标系，利用两点间距离公式，表述上述关系.

解 建立如图坐标系设[A（x，y），C（0，0），B（2，0）]，

则[AC=x2+y2，AB=（x-2）2+y2].

∵[AC=2AB]，

∴[x2+y2=（x-2）2+y2].

整理得：[（x-4）2+y2=8].

所以[A]在以[（4，0）]为圆心，[22]为半径的圆上.

所以，[△ABC]的[BC]边上高[h]的最大值：

[hmax=r=22].

所以[△ABC]的面积最大值：

[Smax=12×2×22=22].

我们在解题中要仔细观察分析结构形式，大胆联想，把不熟悉的结构形式与我们熟知的公式定理挂起钩来，从而达到迅速解题的目的.