论数学教学中的概括和抽象

陈千金

【摘要】：在数学教学中，概括与特殊化、抽象与具体化、分析与综合是非常重要的研究方法，在此过程中融合成一个整体，在思维过程中互相作用，互相渗透。在向学生进行解答习题的教学过程中，对于内容相当丰富的习题仔细地进行分析，指导学生经过分析进行概括，通过抽象认识具体，使学生很快掌握同类问题的一般处理方法。

【关键词】：数学教学  概括  特殊化  抽象  具体化

在向学生进行解答习题的教学过程中，经过分析进行概括，通过抽象认识具体问题具有很大的意义。对于内容相当丰富的习题仔细地进行分析，有可能使学生很快掌握一类问题的一般解法。在传统的教学法中，通常是利用对许多特殊的问题进行分析和比较的办法来掌握一般的解题方法的，也就是在经验的基础上进行概括。

一、概括在数学中的应用

在数学学习进行概括时，在思维中会显现属于对象集合而且将这些对象结合任一起的某一种性质。例如，在学习等差数列通项（即第n项）公式时，先讨论几个具体的例子;根据等差数列的首项和公差计算它的一些项。在进行这些计算时，学生用到下列等式：a2=a1+d;a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d;a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，等等。自然，由这些式子概括为一个公式an=a1+（n-1）d是有用的，因为利用它可以得到计算等差数列任意项的比较简单的方法。以后，当我们把任一等差数列看作是自变量为自然数的线性函数时，这个公式还会得到新的概括：y=kx+b。

概括是由给定的对象集合进到讨论“容量”更大且包含前者的集合的中間过程。例如，当我们由讨论自然数集过渡到讨论正分数集时。我们就是在进行概括。下面两种情况可以导致概括：1）将某一固定的对象换成可变的对象;2）取消对被研究的对象所加的限制。

二、数学概括与特殊化过程

与概括的过程紧密相连的特殊化过程，是在思维中从被研究的对象的各种性质中分离某一种性质。

例如，从菱形集合中分离出对角线相等的菱形，我们就得到正方形。可以说，特殊化是由给定集合进到讨论包含于它的集合的中间过程。

例如，当我们由讨论正分数集过渡到讨论自然数集时，我们在进行特殊化。将变量换成常量（数n一数7），或者对被研究的对象增加限条件（三角形一等腰三角形），自然会导致特殊化。我们把由分析得出的概括看作是学生形成理论思维的方法，而将由比较的结果得出的概括看作是形成经验思维的方法。利用前面关于数列的例子，可以对这两种概括作一些说明。实际上，学生分别对每一个已知数作了分析（然后再作比较）以后，就会揭示其中某些数列都具有的重要性质，利用这一性质可以将这些数列归并为特殊的一类，即等差数列，而且由此可以作出概括—形成数列的定义。

“已知多边形在一个平面上的投影的面积如何求出这个多边形的面积”的问题，常常被用来作为由分析得出概括的有说服力的例子。我们以求三角形的面积为例子，通过讨论所得出的公式很容易推广到这样一类问题，即求多边形面积的一类问题。因此，在分析的基础上产生概括的知识，它可以转而应用于各种具体的情况。由此可见，经过分析进行概括，是用形成理论思维的方法揭示解答给定的一个习题（问题）的过程中最重要的性质的有力工具。

三、抽象在数学中的应用

由于从所研究的事物中抽去非本质的东西，以及由于概括简化了对现实世界常常表现为各种各样的事物的研究，结果在人的意识中形成概念，这种认识过程中的意识结构，称为科学的抽象。人在认识现实的事物过程中如何构造它们的抽象模型的方法，同时也是一种教学方法，用它可以引导学生了解组成数学这门学科的那些思想，特别是可以用来说明线、面、体等重要几何概念的意义。

同分析和概括一样，抽象可以表现为两种不同的形式。第一种形式出现在对事物的感性认识过程中，就是在对事物的感性知觉过程中，我们可以帛去事物的一些性质，而特别注意对象的其他性质。例如，当我们将一个对象看作几何体时，我们仅仅注意它的形状，大小，在平面或空间的位置。第二种形式，以这种形式出现的抽象的特征是它已经超过一般感性认识的范围。这种抽象不仅仅是将事物和现象的种种性质汇集在一起，而且对它们作了改造。例如，学生在学习几何课程中关于按照角度的大小将三角形进行分类的问题时，学生会运用“三角形”这个抽象概念，抽象出三角形“有不等的边”的性质。这个例子说明抽象具有两面性。抽象的否定的方面是在抽象过程中舍弃了被研究的事物的某些性质（上例中舍弃了三角形边的性质）。但是，当我们舍弃这些性质时，我们同时也就可以分离出对于我们具有重大意义的其它性质（上例中强调的是三角形的角度大小）。

因此，抽象就是在思维中舍弃所研究的事物的某些非本质的特性，揭示其本质的特性。抽象是认识数学的一种最重要的方法，也就是数学教学的一种方法。为了使学生掌握这种学习数学的方法，必须经常强调（和说明）它在学习过程中的应用。例如，当我们按照函数方程Vt=V0+at研究物体运动的速度，按照方程Mn=M+a·n研究产品的成本，我们抽象出速度、成本这些概念，得出函数f（x）=ax+b。当我们研究函数f（x）=ax+b及其性质和图像时，我们注意到与关系式Vt=V0+at，Mn=M+a·n相联系的现象所具有共同本质，也就是说，在研究函数f（x）=ax+b过程中所得到的结果，可以用其他科学的语言表述出来，而且可以应用于实际。

与抽象过程相反的是具体化过程。具体化是片面地注意所研究的事物的某一个方面，而不考虑它同事物的其他方面的联系的一种思维活动。具体化可以作为直观描述，也可以作为一个抽象法则的验证，也可以作为某一性质在具体条件下的应用。在教学的最初阶段，教师可以而且应当使学生注意抽象质（这就意味着也要注意数学的本质）。看来，做到这一点并不难。实际上，甚至简单的等式5×3=15也可以清楚地说明抽象的本质。教师对学生说：我们来考虑这样一个问题，5×3=15这个式子表示的是什么意思，它反映了什么具体的内容？学生会将易地回答这个问题，说：5×3=15可以表示三支铅笔的价长，一个人步行三小时的路程，长方形地块的面积，等等。

应当注意，概括、特殊化、抽象、具体化、分析、综合、比较、观察和实验。在科学研究（以及教学）过程中融合成一个整体，在思维过程中互相作用，互相渗透。这些科学研究的方法，只有在学习它们的过程中，才有可能恰当地对它们分别进行讨论。