由一个反例引发的对数学命题教学的思考

于从贤

在讲“充要条件”时我遇到这样一道题目：已知平面内任一点O满足 =x +y （x， y∈R），则“x+y=1”是“点P在直线AB上”的（ ）

A. 必要不充分条件

B. 充分不必要条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

当时的答案解析是这样：根据平面向量基本定理知： =x +y （x， y∈R）且x+y=1等价于P在直线AB上，故选C。但在讲解时有位同学举出这样一个反例：

若O，A，B，P四点共线，如图：

由 =x +y 可知x+y有可能大于1，不能选C。假设共线的四个点O，A，B，P都在x轴上，不妨把O，A，B，P四个点的坐标分别设为（0， 0），（1， 0），（2， 0），（100， 0），由 =x +y ，可以得到x+2y=100，很明显，这是一个不定方程，解有無数组，x+y的值有无数情况。

难道点O不能在直线AB上吗？于是，我进行了一次推导：

A， B ，P三点共线？圳 =？姿

而 = - ， = -

故 - =？姿（ - ）

即 =（1-？姿） +？姿

令（1-？姿）=x，？姿=y， 则x+y=1.

整个推导过程好像确实跟点O是否在直线AB上没关系？那到底是哪里出了问题？

进一步探究发现：①当O在直线AB外时， ， 不共线，可以构成一组基底，根据平面向量基本定理可知实数对m， n唯一存在；②当O在直线AB上时， ， 共线，不能构成基底，则实数对m， n可能不唯一，前面的推导过程的问题出现在第二步上，如果O在直线AB外， ， 不共线，则 能被 ， 唯一线性表示，同理 能被 ， 唯一线性表示，则最终x+y=1毫无问题；但如果O在直线AB上， ， 共线，则 被 ， 线性表示的结果不唯一，同理 被 ， 线性表示的结果也不是唯一的，所以x+y的值就不一定是1，所以原题目的正确答案应该选B.

一道看似简单而熟悉的题目，因为学生的一个反例，促使我重新对平面向量基本定理和共线定理进行了深入的探究。这次探究也引起了我的思考：定理是数学中重要的命题，命题（公式、定理）教学是数学课堂教学中的重要基本课型，如何才能让我们的命题教学达到更好的效果呢？

纵观命题教学，我们可以发现，教师对命题教学的确很重视，但这种重视主要是在命题的结论和应用上，教学往往是“公式（或定理）加例题”，“一背二套三运用”，而对命题的形成过程、内涵及推导过程中蕴含的数学思想和方法等不够重视。这种重结论轻条件，重结果轻过程、轻方法的总结，使得学生对公式、定理的学习只是停留在表面上，只会机械地套公式、用定理，极容易出现错误，更不会灵活运用。久而久之，学生对公式、定理不清，数学运用能力和思维能力下降。下面，我结合自身的教学实践及教学中的经典案例，谈谈命题教学中教师应该重视的几个方面。

一、命题教学应重视命题的形成过程

数学中的公式、定理本身就是一道经典的数学题目，有必要对其形成进行推导和论证。如果只是重视公式、定理的解题运用，而忽视其形成过程中的推导和证明，从某种程度来说是舍本逐末。在教学中，教师应通过各种有效的教学手段，揭示公式、定理的来龙去脉，展示公式、定理的推导过程，这不仅有助于学生清楚公式、定理的形成过程，而且还能帮助学生记清公式、定理，灵活运用公式、定理解题。

案例1：设当x=？兹时，函数 f（x） =3sinx+4cosx取得最小值，则cos？兹=

这道题学生都很熟悉，一般都知道函数最小值为-5，但问题是取最小值时角的余弦值是多少，很多学生都不会求。究其原因，主要是学生对公式asin？琢+bcos？琢= sin（？琢+？渍）（？渍为辅助角）的形成过程不清楚。很多老师在将形如asin？琢+bcos？琢的三角函数式化归为一个角的某三角函数教学时，大都是直接告诉学生提取 ，化为 sin（？琢+？渍），然后叫学生记住，会套用就行了。但为什么要提取 ，怎样化为 sin（？琢+？渍），学生不清楚，所以遇到这道题时，很多学生不会做。如果在教学时，教师让学生观察asin？琢+bcos？琢的结构特点，对比两角和与差的正、余弦公式，可知只要将a，b的位置变成一个角的正、余弦值即可，但a2+b2的值可能不等于1，为了解决这一问题，可设a=kcos？渍，b=ksin？渍，此时k= ，因此asin？琢+bcos？琢=k（sin？琢 cos？渍+cos？琢 sin？渍）= sin（？琢+？渍），其中cos？渍= ，sin？渍= 。对这个公式的形成过程学生清楚了，解这道题就比较容易了，f（x）=3sinx+4cosx=5（sinx· +cosx· ）=5sin（x+？渍），其中cos？渍= ，sin？渍= ，当x=？兹时，函数f（x）取得最小值，即有？兹+？渍=- +2k？仔（k∈Z），因此cos？兹=cos（- +2k？仔-？渍）=-sin？渍=- 。

通过案例1，我们可以发现，仅仅记住公式在解题中还是远远不够的。让学生记住某个公式、某个定理，并非数学命题教学的最终目的，而掌握公式、定理的形成过程，也是数学命题教学的目的之一。

二、命题教学应重视命题的适用条件

数学中的公式、定理是由条件和结论组成的命题，结论是在一定条件下才能成立，运用公式、定理，必须要有使公式、定理的结论成立的条件。命题教学中，教师要让学生分清公式、定理的条件和结论，弄清公式、定理的条件和结论间的关系，强调公式、定理适用的范围和成立的条件。

案例2. 已知各项为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得 =2 a1，则 + 的最小值为

这道题给出的答案解析过程是：设公比为q（q>0），由a7=a6+2a5可得q=2。由 =2 a1得a1qm-1·a1qn-1=8a12，即有m+n=5，则 + =（ + ）· = （ + +5）≥ （2 +5）= ，当且仅当 = ，即n=2m= 时等号成立，所以 + 的最小值为 。

学生的解答思路是：由 =2 a1可得m+n=5，又m+n≥2 ，所以5≥2 ，即有 ≥ ，因此 + ≥2 = ≥ ，即 + 的最小值为 。

同一道题，不同的答案，哪一个对呢？事实上，两个答案都是错的。第一种解题思路是对的，但在运用基本不等式求最小值时，取等号的条件“n=2m= ”是取不到的，原因是m，n是正整数，所以答案是错误的；第二种学生的答案也是错的，两次运用基本不等式，既没注意每次取等号的条件，也没注意两次取等号的条件“m=n”与“4m=n”不能同时取得。这两种解法在运用基本不等式时，都是因为没有考虑取等号的条件而出错。

为什么会出现案例2这种错误呢？主要原因是在运用公式、定理解题时，条件意识不强，没注意结论成立的充分性。比如，教师在讲解例题时，平时因为题目一般给了可以运用公式、定理的条件，在板书时常会出现不写条件，直接运用写结论这种解题不规范错误，这样就给学生造成一种条件可有可无的错觉，而当题目没有给公式、定理适用的条件时，学生机械地套公式、定理解题，就很容易出错。因此，教师在公式、定理教学时，要重视公式、定理的适用条件，做好运用公式、定理解题示范，培养学生运用公式、定理解题时要考虑结论成立时的条件的好习惯。

三、命题教学应重视命题的内、外在双重特征

数学中的公式、定理揭示了数学知识的基本规律，具有一定的形式符号化的抽象性和概括性的特征，从形式上看都比较简洁，但内涵丰富。教师在命题教学中，既要从形式上分析公式、定理的特征，还要挖掘公式、定理中隐藏的内在特征。

案例3：已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且 = ，求 的值。

部分学生在解答这道题时，知道是利用等差数列的性质，由a1+a13=2a7，b1+b13=2b7，得 = = = ，但也有不少学生这样解：因为 = ，所以可设Sn=（7n+2）k，Tn=（n+3）k，所以a7=S7-S6=7k，b7=T7-T6=k，所以 =7，出现这种错误解法的原因，主要对等差数列前n项和公式的形式和内涵不清楚，等差数列前n项和公式有两个，第一个公式Sn= 是运用倒序相加法，利用等差数列的性质推导出来，所以在解题时经常和等差数列的性质联系在一起使用，所以该题最优解法是利用等差数列的性质和前n项和公式Sn= 求值；等差数列前n项和第二个公式是在第一个公式的基础上推导出来的，即Sn=na1+ d，等价变形为Sn= n2+（a1- ）n，可以看出是一个关于n的常数项为0的二次函数。这样，错误解法中虽然可以由 = 设Sn=（7n+2）k，Tn=（n+3）k，保证 = 成立，但因为等差数列前n項和Sn不是关于n的一次函数，而是关于n的二次函数，这样由 = 就不能得到Sn=（7n+2）k，Tn=（n+3）k。如果我们设Sn=nk（7n+2），Tn=nk（n+3），就可以得到正确结果。

在案例3中，学生对等差数列前n项和公式的形式特征不清楚，不知道等差数列前n项和实质上是一个关于n的二次函数，而选择了错误的求解方法。在命题教学中，教师要和学生一起分析公式、定理形式特征和内在特征，让学生对公式、定理有个清楚的认识和理解，这样学生才会正确地运用公式、定理。

四、命题教学应重视命题蕴含的数学思想和方法

数学中的命题是数学基础知识的核心内容，不仅是数学学习和运用的基础，也是数学推理和论证的重要依据，其自身的推理和论证也是提炼数学思想和方法，培养学生思维能力的重要载体。在命题教学中，教师在推导公式、定理后，没有和学生一起分析归纳推导、论证过程中运用的数学思想和方法，导致学生不会运用公式、定理推导过程所蕴含的数学思想和方法解题，数学学习能力也就难以提高。“授人以鱼，不如授人以渔”，在命题教学中，教师不仅要重视公式、定理的推导、论证过程，还要分析和归纳推导、论证过程中运用的数学思想和解题方法。

案例4：已知函数f（x）=x+sin？仔x-3，则f（ ）+f（ ）+ f（ ）+…+f（ ）的值为

. （答案：-8058）

很多学生在面对这道题时，不知如何下手。事实上，观察该求和式子特征，可以发现首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，这正是等差数列前n项和中具备的特征，因此，可以运用等差数列前n项和公式推导过程中运用的倒序相加法来解该题。事实上，很多重要的数学思想、数学方法，在教材中没有专门表述，但它们却大量地隐含于公式、定理等表层知识的背后，贯穿于数学学习的全过程。因此，教师在教学过程中，应善于化隐为显，精心挖掘，适时提炼，恰如其分地渗透相关的数学思想和方法。

总之，数学命题教学中，教师要重视命题的形成过程，强调命题的适用条件和内、外在双重特征，重视归纳命题形成过程中蕴含的数学思想和方法，把学过的命题系统化，形成结构紧密的知识体系。

【参考文献】

1. 李果明. 中学数学教学建模[M]. 南宁：广西教育出版社，2003.

2. 麦曦. 中学数学课型与教学模式研究[M]. 广州：新世纪出版社，2002.

（作者单位：广州市培正中学）

责任编辑 黄佳锐