函数f（x）=ax2+bx+c的赋值式及妙用

何来成

【摘要】二次函数，在处理区间上函数绝对值及最值问题上，使用赋值式求解，常使题设条件直观化，从而达到解题的目标.

【关键词】函数；赋值；妙用

由于近几年高考，竞赛中出现二次型函数综合题，在讨论及处理系数和绝对值问题上，对学生来说是一道不易跨越的鸿沟.使用了f（x）=ax2+bx+c的赋值式来解，优点在于能使题设条件直观化，并且由式子本身的结构，还可以指明下一步思维的方向，朝结论逐步推进，从而达到解题的目标.本文将介绍f（x）=ax2+bx+c赋值式在解综合题时的作用.

大家知道，函数f（x）=ax2+bx+c，（x∈R）分别令x=0，1，-1可得

f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c.

由上可知：a=f（1）+f（-1）-2f（0）2，b=f（1）-f（-1）2，c=f（0）.

∴f（x）=ax2+bx+c可变形为另一种表示形式——赋值式：

f（x）=f（1）+f（-1）-2f（0）2x2+f（1）-f（-1）2x+f（0），（Ⅰ）

或f（x）=f（1）x2+x2+f（-1）x2-x2+f（0）（1-x2）.（Ⅱ）

例1 设函数f（x）=ax2+bx+c满足f（1）≤1，f（-1）≤1，|f（0）|≤1.

求证：x∈[-1，1]时，|f（x）|≤54

证明 |f（x）|≤1，f（-1）≤1，|f（0）|≤1且x∈[-1，1]，由（Ⅱ）可得

|f（x）|=f（1）x2+x2+f（-1）x2-x2+f（0）（1-x2）

≤12x2+x+12x2-x+1-x2 ①

=-x+1-x2 x∈-1，0

或=x+1-x2 x∈0，1

=x+1-x2=-x-122+54≤54 ②

并且当x=±12，时，等号①，②同时成立，f（0）=±f（1）=±f（-1）=±1.

∴x∈[-1，1] 时，|f（x）|≤54.

例2 已知a，b，c是实数，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，且當-1≤x≤1时，|f（x）|≤1.

（1）证明c≤1；（2）证明当-1≤x≤1时，|g（x）|≤2；

（2）设a>0，且当x∈[-1，1]时，g（x）的最大值为2，求f（x）.

证明 （1）由（Ⅰ） 可知a=f（1）+f（-1）-2f（0）2，b=f（1）-f（-1）2，c=f（0）.

∵x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1，∴|f（x）|≤1，f（-1）≤1，c=|f（0）|≤1.

（2）当x∈[-1，1]时，

|g（x）|=ax+b=f（1）+f（-1）-2f（0）2x+f（1）-f（-1）2

=f（1）x+12+f（-1）x-12-f（0）x≤12x+1+12x-1+x =x+1≤2.

（3）∵a>0，∴x∈[-1，1]时，g（x）max=g（1）=a+b=2.

即f（1）+f（-1）-2f（0）2+f（1）-f（-1）2=2f（1）-f（0）=2f（1）=1，f（0）=-1.

∵-1≤x≤1时，f（x）≥-1，即f（x）≥f（0），由二次函数性质可知x=0是y=f（x）的对称轴，即f（-1）=f（1）=1，

∴a=f（1）+f（-1）-2f（0）2=2，

b=f（1）-f（-1）2，c=f（0）=-1，即f（x）=2x2-1.