浅谈Fabonacci的通项公式

宋鹿鸣

【摘要】斐波那契数列自问世以来，不断彰显出它的数学魅力.现在，斐波那契数列几乎渗透到数学 的每一个分支中.本文从斐波那契数列的递推公式出发，介绍了斐波那契数列的通项公式，同时利用高等代数中的特征方程、矩阵的相关知识，解答斐波那契数列的通项公式的相关问题.

【关键词】Fabonacci数列；通项公式

1.Fabonacci数列的产生

Fabonacci数列是Fabonacci于1202年所著的《珠算原理》中的“生兔子问题”产生的.设定两初生的兔子一个月后成熟并开始繁殖，而一对兔子每个月会生产两只兔子.问：一对初生兔子按此规律进行繁殖，12个月后会有多少对兔子？按照这个规律写出的数列称为斐波那契数列（Fabonacci），通常记为Fn，数列中的每一项称为斐波那契数，按照生兔子问题得到Fn的递推公式F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2.

2.Fabonacci數列的通项公式

Fabonacci数列产生后的三百年里，如何求出他的通项公式这个问题一直困扰着数学家们，直到16世纪，数学家比内（Binet）用第二数学归纳法推出：

Fn=155+12n-5-12n n∈N，n≥1.

我们可以利用相关的高等代数的知识来推出Fabonacci数列的通项公式.

2.1 特征方程推导法

由Fabonacci数列的递推公式，得到对应的特征方程x2=x+1，即x2-x-1=0.

解方程，求出其特征根为x1=1+52，x2=1-52.

Fn=C11+52n+C21-52n（其中C1，C2为常数）

由初始条件，F1=F2=1，

代入得C11+52+C21-52=1，C11+522+C21-522=1.

解得，C1=15，C2=-15.于是，

Fn=151+52n-1-52n，n≥1，n∈N.

2.2相似矩阵推导法

取Fn数列中的相邻两项组成数组αn=Fn-1，Fn，组成序列α1，α2，…，αn.

于是，αn=FnFn-1=Fn-1+Fn-2Fn-1=1110Fn-1Fn-2=

1110Fn-2+Fn-3Fn-3=11101110Fn-2Fn-3=

11101110Fn-3+Fn-4Fn-3=

111011101110Fn-3Fn-4=……=

1110n-2F2F1=1110n-211.

令A=1110，则 αn=FnFn-1=An-2·α2=An-2·11.

要想求Fn，首先要先求出An-2，我们可以利用矩阵的相似性理论，求出An-2.

λE-A=λ1001-1110=λ00λ-1110=λ-1-1-1λ.

A的特征多项式PA=λE-A=λλ-1-1=λ2-λ-1，令PA=0，有λ1=1+52，λ2=1-52.于是，有特征向量X1=λ11，X2=λ21.

以X1，X2为两列组成可逆方阵P=X1X2=λ1λ211，则A=Pλ100λ2P-1.

P-1=1P·P =1λ1-λ21-λ2-1λ1（P为P的伴随阵）

An-2=Pλ100λ2P-1n-2=Pλn-2100λn-22P-1

于是，αn=FnFn-1=An-211=Pλn-2100λn-22P-111

=λ1λ211λn-2100λn-221λ1-λ21-λ2-1λ111

=λn-11λn-12λn-21λn-221-λ2-1λ1111λ1-λ2

=λn-11-λn-12-λn-11λ2+λ1λn-12λn-21-λn-22-λn-21λ2+λ1λn-22111λ1-λ2

=λn-111-λ2+λn-12λ1-1λn-211-λ2+λn-22λ1-11λ1-λ2

=λn1-λn2λn-11-λn-121λ1-λ2

所以，有

Fn=151+52n-1-52n ，n≥1，n∈N.

3.总 结

从上面的推导过程中，我们可以发现斐波那契数列揭示了一个非常有趣的事实，那就是用“无理数”来表示“有理数列”的通项公式，正好与用“有理数的无穷级数”来表示无理数恰恰相反，这也是斐波那契数列的通项公式很难求出的原因.本文另辟蹊径，通过特征方程的推导法和相似矩阵的推导法来求解斐波那契数列的通项公式，给读者以启示.

【参考文献】

[1]吴振奎.斐波那契数列[M].沈阳：辽宁教育出版社.1987.

[2]宋廷武.用特征方程推到斐波那契数列的通项公式[J].安庆师范学院学报：自然科学版，2010，29（4）：91-93.