巧用点差法解中点弦问题

张景南　文芳

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题.其解法有点差法、设而不求法、参数法、待定系数法等.本文主要介绍点差法：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.笔者将常见的类型例析如下，以供参考.

一、求中点弦所在直线方程问题

例1 过椭圆x216+y24=1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程.

解 设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），M（2，1）为AB的中点，

所以x1+x2=4，y1+y2=2，又A，B两点在椭圆上，则x21+4y21=16，x22+4y22=16，

两式相减得（x21-x22）+4（y21-y22）=0，所以y1-y2x1-x2=-x1+x24（y1+y2）=-12，即kAB=-12.

故所求直线方程为x+2y-4=0.

二、求弦中点的轨迹方程问题

例2 已知椭圆x22+y2=1，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.

解 设弦的两个端点分别为Px1，y1，Qx2，y2，PQ的中点为Mx，y.

则x212+y21=1，x222+y22=1.两式相减得：x1+x22+y1-y2x1-x2y1+y2=0

又x1+x2=2x，y1+y2=2y，y1-y2x1-x2=2，所以x+4y=0.所以弦中点轨迹在已知椭圆内，所以所求弦中点的轨迹方程为x+4y=0（在已知椭圆内）.

三、弦中点的坐标问题

例3 求直线y=x-1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标.

解 设直线y=x-1与抛物线y2=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2），其中点P（x0，y0），由题意得y21=4x1y22=4x2，两式相减得：（y2-y1）（y2+y1）x2-x1=4，所以y1+y2=4，

即y0=2，x0=y0+1=3，即中点坐标为（3，2）.

四、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程问题

例4 已知中心在原点，一焦点为F（0，50）的椭圆被直线l：y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为12，求椭圆的方程.

解 设椭圆的方程为y2a2+x2b2=1，则a2-b2=50①.设弦端点P（x1，y1）、Q（x2，y2），

弦PQ的中点M（x0，y0），则x0=12，y0=3x0-2=-12所以x1+x2=2x0=1，y1+y2=2y0=-1.又y21a2+x21b2=1，y22a2+x22b2=1.

两式相减，得：-b2（y1-y2）+a2（x1-x2）=0，所以 y1-y2x1-x2=a2b2，所以 a2b2=3②.

联立①②解得a2=75，b2=25，所以椭圆的方程是y275+x225=1

五、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

例5 已知椭圆x24+y23=1，试确定的m取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.

解 设P1（x1，y1）P2（x2，y2）为椭圆上关于直线y=4x+m的对称点，P（x，y）为弦P1P2的中点，则3x21+4y21=12，3x22+4y22=12相减得： 3（x1+x2）（x1-x2）+ 4（y1+y2）（y1-y2）=0 因為x1+x2=2x，y1+y2=2y，y1-y2x1-x2=-14所以y=3x这就是弦P1P2中点P轨迹方程.它与直线y=4x+m的交点必须在椭圆内联立y=3xy=4x+m，得x=-my=-3m 则必须满足y2<3-34x2，即（3m）2<3-34m2，解得-21313利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，很好地培养了学生的解题能力和解题兴趣.