一道高考题的多种解法

肖运彭　夏小刚

【摘要】高考题注重对学生数学思维的考察，在一道题中往往涉及多种数学思想方法，而这些数学思想方法对提高学生的创新能力，开发学生的智力具有极大的促进作用.对选拔出合格优秀的学生具有重要的参考价值.因此，无论老师还是学生，都应关注高考题，特别是能够体现出多种数学思维的高考题.本文就以2014年新课标全国卷2理科数学选修坐标系与参数方程为例，探讨该题的多种解法及思想.

【关键词】新课标；坐标系；参数；垂直

（2014年新课标全国卷2理数）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈0，π2.

（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=3x+2垂直，根据（Ⅰ）中得到的参数方程，确定D的坐标.

法一：利用斜率的定义直接得出角度值

（Ⅰ）解：由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρ·cosθ.

∴x2+y2=2x（x-1）2+y2=1.

∴C的参数方程为x=1+cosα，y=sinα（其中α为参数，α∈[0，π]）.

（Ⅱ）解：由题可知直线CD的斜率与直线l斜率相等，

即：kCD=kl.∴sinα-01+cosα-1=3，解得α=π3，

∴D点坐标为D32，32.

法二：（1）C的普通方程为（x-1）2+y2=1（0≤y≤1）

可得C的参数方程为

x=1+cost，y=sint（t为参数，0≤t≤π）.

（1）设D（1+cost，sint）.由（1）知C是以G（1，0）为圆心，1为半径的上半圆.

因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同.

tant=3，t=π3.故点D的坐标是1+cosπ3，sinπ3，即D32，32.

法三：利用点到直线的距离公式

（Ⅰ）解：由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρ·cosθ.

∴x2+y2=2x（x-1）2+y2=1.

∴C的参数方程为x=1+cosα，y=sinα（其中α为参数，α∈[0，π]）.

（2）如图所示，

O′CB为矩形，O′C=BD，O′C=2+32.

所以BD=sint-3（cost+1）-21+3=2sin（t-π3）-3-22.

所以sin（t-π3）=0t=π3所以点D32，32.

法四：直接利用图形

（1）C的普通方程为

（x-1）2+y2=1（0≤y≤1）.

可得C的参数方程为：

x=1+cost，y=sint（t为参数，0≤t≤π）.

（2）如图所示可直接得出D32，32.

法五：利用直线的斜截式方程与方程组思想

（1）C的普通方程为

（x-1）2+y2=1（0≤y≤1）.

可得C的参数方程为：

x=1+cost，y=sint（t为参数，0≤t≤π）.

（2）设过D点的切线方程为y=-33x+b.

由圆心（1，0）到切线的距离33-b332+1=1，

解得b=-33（舍）或b=3.

所以x-12+y2=1，y=-33x+3.解得D32，32 .

通過上述解法我们不难发现，高考题涉及诸多思想方法，学生完全可以根据自己的知识进行有效的选择.作为老师，在日常的教学工作中，也应该重视对一题多解的探讨，这更有助于对学生发散思维，创新能力的培养.