变式探究，推陈出新

李思杨

【摘要】变式训练是数学教学中常用的教学方式，然而如何能结合学生实际情况进行合理变式却是数学教师一直在思考的问题.本文试图通过一节解析几何的课题，浅析变式训练的一些经验.

【关键词】数学问题；变式训练

问题是数学的核心，思维总是从问题开始的.要想激发学生的思维，引起学生学习的渴望及兴趣，设法创设情景，恰当地提出、设置问题是关键.通过对问题分析、探讨的一系列过程，从而产生解决问题的思维途径与有效方法.若教师能在问题教学中，不断创设一些变式训练、一题多解等，这将更有利于学生的思维能力、创新意识的培养.“变式训练”的实质就是根据学生的心理特點在设计问题的过程中，创设认知和技能的最近发展区，诱发学生通过探索、求异的思维活动去发展能力.

现就以《直线与圆》的一道课本习题为例，谈谈怎样有意识地去加强变式教学的训练.其做法大致如下：

1.问题：求过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.

本题的教学安排是：先由学生思考，教师在下面巡视中，发现此题虽然不难，但做错的相当多；基本上分为两类：一类是有三条直线；一类是有两条直线.此时教师并不急着去讲解，而是找作出这两种答案的两名同学甲、乙（甲的结果是三条直线，乙的结果是两条直线）到黑板上，画图、讲解；然后再由学生讨论、评价.下面是师生对此问题的一段对话；

T：甲、乙同学，谁的答案是错的？错在什么地方？

S1：乙的答案是错的.因为截距是距离，所以乙的答案少了一条倾斜角为45°的直线.

S2：甲同学的答案是错的.错在截距不是距离.

T：通过以上的讨论、评价，大多数学生认同甲同学的答案是错的，也都明白了他的错因.此题的关键是准确理解“截距”的概念.根据我自己的课堂教学经验，好多同学把“截距”与“距离”混淆以至出错.“截距”是直线分别在x，y轴上交点的横、纵坐标，不是“距离”.但如何使学生深刻理解这一概念的内涵却是教学中的难点，所以合理的通过课堂讨论、学生辨析，既避免教师强加式灌输式的被迫接受，又会使同学们对“截距”的理解更加深刻，会收到较好的教学效果.

对于这一问题探究并没止于此，接下去应适时地提出新问题，进行一系列的变式创新.

2.变式探究

学生变式：求过点P（2，3），并且在两轴上截距的绝对值相等的直线方程.（由于学生对此前一个问题的深刻理解，故而对本题的解决相当顺畅.即要分截距相等与截距相反两种情况讨论.）

教师变式：变式（1）求过点P（2，3）且与坐标轴在第一象限内围成的三角形面积最小的直线L的方程.

新问题的提出，使学生马上投入到积极的思考中，下面展示几名同学的思维结果.

S3：法一 （用重要不等式）设直线L的方程为：x[]a+y[]b=1 （a>0，b>0）.

∵直线L过P点，∴2[]a+3[]b=1.

∴1=2[]a+3[]b ≥26[]ab

Symbol^C@ ab≥24.当且仅当a=4，b=6时，取等号.

∴S=1[]2ab≥12，此时L的方程为：x[]4+y[]6=1，即3x+2y-12=0.

S4：法二 （用三角）设直线L的方程为：x[]a+y[]b=1 （a>0，b>0）.

∵直线L过P点，∴ 2[]a+3[]b=1.

令2[]a=cos2θ，

3[]b=sin2θ0<θ<π[]2.

则S=1[]2ab=1[]22[]cos2θ·3[]sin2θ=12[]sin22θ.

∴当θ=450 时，Smin=12，此时L的方程为：x[]4+y[]6=1，即3x+2y-12=0.

S5：法三 （函数）设直线L的方程为：x[]a+y[]b=1 （a>0，b>0）

∵直线L过P点，∴ 2[]a+3[]b=1，∴ b=3a[]a-2.

∴ S=1[]2ab=1[]2a·3a[]a-2=3[]2·a2[]a-2.

以下可用重要不等式或根分布或二次函数等来解决.（略）

T：对以上同学的解答，应给予及时肯定与表扬；其中尤以S1的解答，更简洁、更优美！同时体现了很强的灵活运用数学知识、方法的能力.

变式（2）求过P（2，3）点且在坐标轴的正半轴上的截距和最小的直线L的方程.

T：解：设直线L的方程为：x[]a+y[]b=1 （a>0，b>0）

∵直线L过P点，∴2[]a+3[]b=1，我们的目标是求：t=a+b的最小值.怎么办？

S6：法一（用重要不等式）

t=a+b=（a+b）·2[]a+3[]b=2b[]a+3a[]b+5 ≥26+5.

当且仅当2[]a=3[]b，即a=2+6，b=3+6时，取等号.

∴ L的方程为：x[]26+y[]3+6=1，

即：（3+6）x+（2+6）y-12-56=0.

S7：法二（用三角、不等式）设直线L的方程为：x[]a+y[]b=1 （a>0，b>0）.

∵直线L过P点，∴ 2[]a+3[]b=1.

令 2[]a=cos2θ，

3[]b=sin2θ0<θ<π[]2.

则t=a+b=2[]cos2θ+3[]sin2θ=2（1+tan2θ ）+3（1+cot2θ）

=5+2tan2θ+3cot2θ ≥5+26.当且仅当2tan2θ=3cot2θ，

即：tanθ=6[]2时，取等号.

∴ L的方程为：x[]2+6+y[]3+6=1，即：（3+6）x+（2+6）y-12-56=0.

S8：法三 （函数）.仿变式（1）的法三，同理可做（略）.

变式（3）求过P（2，3）点且与坐标轴的正半轴分别交于点M，N，求|MP|·|PN|最小时的直线L的方程.

T：通过学生的思考，很快也找到了解决的办法.

令∠PMO=θ0<θ<π[]2，

则|MP|·|PN|=3[]sinθ+2[]cosθ=12[]sin2θ，

∴当θ=45°时，|MP|·|PN|min=12，此时L的方程为：x+y-5=0.

通过以上的变式训练，加强了学生之间的交流，培养了学生综合运用数学知识的能力.同时本题还可继续进行以下变形，由于时间关系，更具挑战性的变式（4），留做思考题.

变式（4）求过P（2，3）点且与坐标轴的正半轴分别交于点M，N，求|MP|+|PN|最小时的直线L的方程.

通过本节习题课的教学，极大地调动了学生学习的积极性.在概念辨析、方法的运用与积累方面都收到了良好的效果.这对挖掘学生的潜能，训练思维能力、培养创新意识，都起到了积极、促进作用；通过一题多变，训练了学生思维的深刻性、批判性，使学生从中了解到例（习）题的来龙去脉，掌握了探索命题演变的思维方法，它是发展学生发散思维、培养创新能力的有效途径，也是教师有意识将探索和发现的机会留给学生的有效尝试，在学生的探求过程中，有效地进行一题多变，一题多解.研究数学知识、方法的“横向联想”，“纵向引申”，在分析问题、研究问题的过程中训练思维能力，让学生尝到成功的喜悦，对培养创新精神、创新能力具有重要意义.