横看成林侧成峰，一题多解格不同

王荣

在高三复习中，对高考题或练习中的经典题进行研究，恰当而又适量地采用一题多解，对解题思路多层次分析，多角度审视，探讨解题规律，能“以少胜多”地巩固基础知识，提高分析问题和解决问题的能力，掌握基本的解题方法和技巧.本文以2015年新课标Ⅰ卷第12题为例，从以下几个角度进行分析探讨.

例 设函数[fx=ex2x-1-ax+a]，其中[a<1]. 若存在惟一的整数[x0]，使得[fx0<0]，则实数[a]的取值范围是（ ）

A. [-32e，1] B. [-32e，34]

C. [32e，34] D. [32e，1]

这是一道非常优秀的试题，作为选择题，在考场上，我们应该采取小题小做的策略，以节约时间，达到事半功倍的效果.然而，在高三复习备考的解题教学中，我们可以多角度地剖析这道试题，让其发挥更大的功效.

分析1 特殊值法，因题中已有[a<1]的条件，结合选择题只有一个正确选项与题中的选择支，取[a=0]和[a=34]排除ABC，从而得正确答案.

解1 （1）令[a=0]得，[fx=ex2x-1]，

故[f0=-1<0]，[f-1=-3e-1<0]，这与题设条件矛盾，排除选项AB.

（2）再令[a=34]得，[fx=ex2x-1-34x+34]，则[fx=ex2x+1-34].

当[x<-12]时，[fx<0]，

当[x>0]时，[fx>f0=14>0]，

即[fx]在[-∞，-12]上是减函数，在[0，+∞]上是增函数，

故当[x≤-1]时，[fx≥f-1=32-3e>0]，

当[x≥1]时，[fx≥f1=e>0]，且[f0=-14<0].

满足题意，由此排除选项C.

答案 D

点拨 特殊值法解选择题能事半功倍，但对特殊值的选择比较难把握，而且有时候选择的特殊值不一定真正的能达到简化的目的，也不易于把握题目的本质.

分析2 从题干出发，通过计算[f0]与[f-1]发现，可先对参数[a]分类讨论，再利用导数研究函数[fx]的性质，进而根据已知条件得出答案.

解2 （1）当[a<32e]时，可得[f0=-1+a<0]，[f-1=2a-3e<0]，这与题设条件不符，舍去.

（2）当[32e≤a<1]时，

得[fx=ex2x+1-a]，[fx=ex2x+3].

若[x<-32]，则[fx<0].

若[x>-32]，则[fx>0].

从而[fx]在[-∞，-32]上是减函数，在[-32，+∞]上是增函数.

又当[x→-∞]时，有[ex2x+1→0.]

且当[x<-12]时，有[ex2x+1<0]成立；

当[x>-12]时，有[ex2x+1>0]成立.

故存在[t∈-12，0]，使得[ft=0].

因此，若[x若[x>t]，则[fx>0].

所以[fx]在[-∞，t]上是减函数，在[t，+∞]上是增函数.

且[f0=-1+a<0]，[f1=e>0].

由“存在惟一的整数[x0]，使得[fx0<0]”得，

[f-1=2a-3e≥0]，解得[a≥32e].

综上所述，实数[a]的取值范围是[32e，1].

答案 D

点拨 用直接法研究函数的性质，对参数分类讨论获得结果，此法的难点在于分类标准的确定、导函数符号的确定以及存在性问题的等价转化.

分析3 由题意得，“存在惟一的整数[x0]，使得[ex02x0-1-ax0+a<0]成立”等价于“存在惟一的整数[x0]，使得[ex02x0-1

综上所述，实数[a]的取值范围是[32e，1].

答案 D

点拨 利用分离参数法研究本题，易错点在于对变量[x0]分类之后的等价变形.

分析4 当[x≠12]时，本题也可以研究参数[a]对函数[y=ex]与[y=ax-12x-1]的图象的相对位置关系的影响，再根据题设条件求解.

解4 由题意得，“存在惟一的整数[x0]，使得[ex02x0-1（1）当[x0>12]时，（*）[?]存在惟一的整数[x0]，使得[ex0