基于儿童视角的“三角形的内角和”教学

刘秀凤

小学数学课程除了具体知识与技能的教学，更重要的是数学思维方式的渗透与数学精神的引领。面对新课程理念，不少教师在课堂上能够注重引导儿童动手操作、自主探究、合作交流，但还是常常会忽略儿童被尊重、被发现、被激活的过程。

一、由一则案例引起的教育学反思

在一次小学数学优质课评选中，一位教师执教苏教版四下《三角形的内角和》，先请学生说一说三角尺三个内角的和是多少度，然后让学生猜一猜其他三角形的内角和是否也是180°，接着引导学生分小组进行验证。在小组汇报交流如何验证时，有的学生说：“我画了一个锐角三角形，量出三个内角的度数后相加，和是180.4°。”有的学生说：“我量的是一个钝角三角形，三个内角的和是179.5°。”有的学生说：“我量的是一个直角三角形，三个内角的和是178.9°。”教师继续引导：“虽然他们算出的三角形的内角和不正好是180°，但可以发现它们都怎么样？”一位学生回答：“每一个三角形的三个内角加起来大小是不一样的。”情急之下，教师再次引导：“实际上，这些三角形的内角和都是一样的，因为量角器量出的结果是不精确的，会出现什么情况？”学生附和：“有误差。”教师继续：“对，量角器在度量的时候是有误差的。大家看看，它们都在哪个数左右啊？”一位学生说：“180°。”另一位学生迅速反驳：“不对，应该是179°。”教师不得不更正：“是180°。”接着，请采用“撕、拼”方法的学生交流他们是怎样验证的……

上述教学案例并不是“偶然为之”的特例，而是《三角形的内角和》一课的教学中经常会出现的场景。笔者首先从教育学视角作如下反思：

教育究竟是什么？教育家杜威早就做出了回答：教育即生长；学校即社会。“生长”即发展，自然发展，教育应是一种自然发展的过程，教育必须从探索儿童的能力、兴趣和习惯开始。同时，儿童必然是在自然和社会环境中发展的，他们在学校不能纯粹地学知识，而应在求真、向善、向美的教育雨露中澄澈灵魂，在求真、向善、向美的人生追求中自信、自强地生活。这才是教育的真谛。

从表面上看，上述教学案例中，教师注重引导学生大胆猜想、自主探究、合作交流，学生所反映的问题也得到了“圆满”解决，但仔细推敲就会发现远非如此。正如首都师范大学岳欣云教授所言：“‘撕、拼的方法并没有减少误差，只是我们用眼睛‘看不出误差而已。”退一步说，即使别的实物操作的方法能够减少误差，也不可能消灭误差，运用实物操作进行验证的方法并不能真正帮助学生得出三角形内角和的准确结论。假如课堂上有学生提出“撕、拼”或其他减少误差的方法依然有误差，只是我们“看”不出来，三角形的内角和不是180°，那教师又该如何呢？其实，即使学生没有提出异议，我们也很难说教师引导学生探究出了正确的结论。因为这种探究结论的顺利得出是建立在学生数学知识贫乏或数学思维不健全的基础上的，用这种方法与其说是探究出了结论，不如说是“蒙”过了学生。这种为过程而过程、为探究而探究的教学失去了其应有的价值。

二、基于哲学视角的再审视

数学的所有结论都是用命题的形式表达的，数学定理、法则、定义都是一种命题。命题是一种话语，是可以进行“是否”判断的话语。数学在概念和符号的基础上，从条件出发，通过归纳推理得出结论，通过演绎推理验证结论是否正确，这样的论证形式是有逻辑的，因此数学具有严谨性。尽管一些基本的数学概念有着较为明显的现实原型，但数学中又有许多概念并非建立在对于真实事物或现象的直接抽象之上，而是在抽象之上再进行抽象，由概念引出概念。因此，如果我们仍然机械地坚持“数学对象存在于可感知的具体事物之中”这样一种观念，就未免显得过于牵强。

而“数学直觉”的主观性和不可靠性是与数学知识的客观性和确定性直接相冲突的。虽然一般自然科学的知识普遍被认为是经验的，但人们同时又认为数学知识是与一般自然科学知识完全不同的另外一种真理。如果说前者是后天的、偶然的，后者则是先天的、必然的。这也就是说，数学命题所表明的只是观念的关系，与客观事实无关。数学真理事实上就是对经验论立场的一个挑战，因为按照后者的立场，一切知识都是后天的、偶然的，从而也就是可以经验地证伪的。

就如一般的艺术创造一样，数学是否也具有很大的主观随意性，或者说，其所反映的只是创造者的“主观经验”？德国著名哲学家、逻辑学家弗雷格曾明确指出：“如果我们相信数学的客观性，那就没有任何理由反对我们借助于数学对象来进行思维，也没有任何理由反对关于数学对象的这样一幅图景：它们是早已存在着的，并等待着人们去验证发现。”

在德国哲学家康德看来，严格的数学命题永远是先天的判断，而非经验的判断，因为它们具有不能来自经验的必然性。即使我们在实际度量中发现一个三角形的内角和并不是180°，我们也不会说我们已经推翻或证伪了“三角形的内角和是180°”这一命题，而会说我们的度量有问题……这也就是说，数学知识似乎不是单纯地凭经验就可以证伪的。

可以说，上述教学案例中的教师成了被限制了思维的“套中人”，深陷“路径依赖”——一旦作了某种选择，就好比走上了一条不归之路，惯性的力量会使这一选择不断自我强化，并使他不能轻易地走出去。换句话说，教师一旦选择了某种思维方式，其惯性会让他难以用另一种方式思考，就像金丝雀在笼子里待久了反而不敢飞出已经打开了门的笼子一样。

三、基于儿童视角的重新建构

所谓儿童视角，是指站在儿童的角度（立场）来思考或观察周围的事情（物）。可惜的是，一直以来，大多数教师比较习惯于直接讲授知识本身，很少关注知识对于儿童的生活的意义和价值。儿童也可能已经习惯了没有交代意义或者没有弄清楚意义的学习。这背后隐含着一个假设：儿童是来学习知识的，老师讲什么知识儿童就自然应该学习什么知识，也就是说，儿童学习知识是没有条件的，不管知识对他是否有意义或价值。

鉴于儿童的认知特点，小学数学探究教学对数学经验的依赖尤为突出。在数学经验与数学形式不发生矛盾时，探究会进行得比较顺利，但在二者发生矛盾时，就需要以数学的形式性为准，兼顾数学的经验性。在教学《三角形的内角和》一课时，我们面对的就是数学内容的形式性、演绎性与数学发现的经验性、归纳性发生矛盾的情况。

因为在“由经验到概念”的思路中，数学经验是第一位的，在数学概念与数学经验发生冲突时，数学概念要符合数学经验。实践操作必然存在误差，所以，“由经验到概念”的归纳思路无法推导出三角形内角和的精确结论。三角形内角和的准确论证应该通过“从概念到概念”的演绎才能得出，然而，对儿童来说，几何演绎推理远远超出了他们的接受能力和认知水平。因此，我们还需要改变角度，采取“由概念到经验”、演绎与归纳相结合的思路（即把前人演绎推导得出的结论与儿童的归纳验证相结合），从让儿童推导未知的结论转为让儿童验证已知的理论，即先告诉学生前人已经得出结论“三角形的内角和是180°”，然后问学生能用什么办法进行验证，从而启发学生可用多种方法进行验证。学生操作验证后得出来的结论虽然不一定正好是180°，但他们不会想到是定理错了，而会认为自己的操作经验存在误差。因为在“由概念到经验”的思路中，前人运用演绎法推导出来的概念是第一位的，而经验归纳主要起到辅助验证、培养儿童的数学理解力及多元思维的作用，并且当数学概念与数学经验发生冲突时，数学经验要符合数学概念。这样的教学，不但可以培养儿童的探究能力和创造性，还能培养儿童坚持真理、修正错误、严谨周密、实事求是的科学态度。

【参考文献】

[1]郑毓信.数学哲学与数学教育哲学[M].南京：江苏教育出版社，2007：24-25.

[2]岳欣云.小学数学探究教学中的哲学思考[J].课程·教材·教法，2012（9）：101-105.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区梁徐中心小学）