圆锥曲线中与斜率有关的定值问题研究

范贤丽

[摘 要]主要研究圆锥曲线中因直线运动而产生与斜率有关的定值问题，涉及斜率之和、斜率之差、斜率之积三类定值问题.

[关键词]圆锥曲线 斜率 定值

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）230038

动和静是物体的两个方面，动是绝对的，静是相对的，动静是辩证地存在的.圆锥曲线是动静结合的典范.以椭圆为例，椭圆的定义为定点F1、F2，定值2a（2a>F1F2），动点P满足PF1+PF2=2a，则P的轨迹是椭圆.“动”是P的运动，“静”是动点P满足PF1+PF2=2a，点P到两个定点的距离和是定值.在运动的过程中，不变的就是静.本文以圆锥曲线为背景，研究与直线的斜率有关的定值问题.

一、斜率之和为定值

【例1】 椭圆C：x2a2+

y2b2=1（a>b>0）

经过点P（1，32），离心率e=12，直线l的方程为x=4.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任意一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3.问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.

解析：：（Ⅰ）易求出椭圆C的方程为x24+y23=1.

（Ⅱ）设B（x0，y0）（x0≠±1），则直线FB的方程为y（x0-1）=y0（x-1）.

令x=4，求得M（4，3y0x0-1），从而直线PM的斜率为k3=2y0-x0+12（x0-1）.

直线FB的方程与椭圆方程联立方程组，解得A（5x0-82x0-5，3y02x0-5），

则直线PA的斜率为k1=2y0-2x0+52（x0-1），直线PB的斜率为k2=2y0-32（x0-1）.

所以k1+k2=

2y0-2x0+52（x0-1）+

2y0-32（x0-1）=

2×

2y0-x0+12（x0-1）=

2k3.故存在常数λ=2符合题意.

点评：过定点F的动直线引出三个动点：与定椭圆的两个交点A、B，与定直线l的交点M，经过定点P（满足PF⊥x轴）的调动，得到kPA+kPB=2kPM，动中有静，静由动生，动静和谐，形式优美.

二、斜率之差为定值

【例2】 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=32，a+b=3，

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）A、B分别是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C的下顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M.设BP的斜率为k，MN的斜率为m，求证：2m-k为定值.

解析：（Ⅰ）易得椭圆C的方程为x24+y2=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），D（0，1），P不为椭圆的顶点，设BP的方程为y=k（x-2），k≠0，k≠±12.

将之代入椭圆方程，解得P（8k2-24k2+1，-4k4k2+1）.

又直线AD的方程为y=12x+1，与BP的方程联立，解得M（4k+22k-1，4k2k-1）.

由D（0，1），P（8k2-24k2+1，-4k4k2+1），N（x，0）三点共线可求得N（4k-22k+1，0）.

所以MN的斜率为m=2k+14，故2m-k=12（定值）.

点评：定椭圆上的三个定点A、B、D，由椭圆上的动点P引出两个动点M、N，这些点恰好都在定角∠DAB内，两个动直线MB、MN的斜率受定直线MA的斜率制约.

三、斜率之积为定值

【例3】 椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）.

A.[12，34]

B.[38，34]

C.[12，1]

D.[34，1]

解析：由题意知，A1（-2，0），A2（2，0）.设点P（x0，y0），则kPA1=y0x0+2，

kPA2=y0x0-2（x0≠±2），且x204+y203=1.

∴kPA1·kPA2

=y20x20-4=

-34，从而kPA1=-34kPA2，由kPA2∈[-2，-1]得k∈[38，34].故选B.

点评：椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上不与长轴端点重合的任意一点与两个长轴端点连线的斜率之积是常数-b2a2，反映椭圆上的动点具有不变的特性.

（责任编辑 钟伟芳）