第二类Volterra型积分方程的逐次迫近解法

杨明明

【摘要】积分方程作为数学学科的一个分支， 发展稍迟些， 在十九世纪三四十年代， 才零星露面。受到文[3]的启发， 我用与讨论第二类Freholm型积分方程类似的方法， 研究了第二类Volterra型积分方程的逐次迫近法。并且给出了求第二类Volterra积分方程的解的幂级数的解法。

【关键词】Volterra型积分方程  逐次迫近解  Fredholm型积分方程

【中图分类号】O175 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）08-0097-01

意大利数学家V.Volterra（1860-1940）在1896年研究了Volterra型积分方程， 作出了许多贡献。他研究的方程是：

■K（x，s）φ（s）ds=f（x）

和

φ（x）=■K（x，s）φ（s）ds+f（x）

瑞典数学家I.Freholm（1866-1927）在1900年研究了更一般的情况，即 Freholm型积分方程

φ（x）=■K（x，s）φ（s）ds+f（x）

Fredholm型积分方程和Volterra型积分方程的区别在于积分限， 前者的积分上限为常数， 后者的积分上限为变数。

现在讨论Fredholm型方程的一种形式， 即方程的核K（x， s）当s>x是恒等于零， 这时称它为Volterra型方程。因此Volterra型第二类方程有以下形式：

φ（x）-λ■K（x，s）φ（s）ds=f（x）         （1-1）

其中φ（x）是未知函数， λ是参数， 自由项f（x）是[a，b]上的平方绝对可积函数，即有正常数D存在， 使得

■|f（x）|2dx=D2

下面应用逐次迫近法解第二类Volterra型积分方程。为此先将方程写成下面形式：

φ（x）=f（x）+λ■K（x，s）φ（s）ds（1-2）

然后将自由项f（x）作为零次近似解

φ0（x）=f（x）

将φ0（x）代入方程（1-2）的右端， 并且把结果作为一次近似解：

φ1（x）=f（x）+λ■K（x，s）φ0（s）ds

再将这一近似解代入（2-2）的右端， 得到

φ2（x）=f（x）+λ■K（x，s）φ1（s）ds

依次类推， 一般地， 若已得n次近似解φn（x）， 则将这一近似解代入（1-2）的右端， 而取所得结果为n+1次近似解φn+1（x）. 于是逐次迫近法由下面的递推关系来确定：

φn+1（x）=f（x）+λ■K（x，s）φn（s）ds           （1-3）

如果逐次迫近法所得到的一列近似解一致收敛于某极限， 则这个极限函数就是方程（1-1）的解。如果极限不存在， 则逐次迫近法失去意义。

注意到递推公式（1-3）， 我们有

φ1（x）=f（x）+λ■K（x，s）f（s）ds

φ2（x）=f（x）+λ■K（x，s）f（s）ds+λ2■K（x，t）dt■K（t，s）f（s）ds

记

K2（x，s）=■K（x，t）K（t，s）dt

上式又可以写成

φ2（x）=f（x）+λ■K（x，s）f（s）ds+λ2■K2（x，s）f（s）ds

依次类推，可以得到近似解φn（x）的一般表达式：

φn（x）=f（x）+■λm■Km（x，s）f（s）ds                     （1-4）

其中Km（x，s）由下面递推关系确定：

K1（x，s）=K（x，s）

Km（x，s）=■K（x，t）Km-1（t，s）dt

如果近似解（2-4）是收敛的， 则它的极限给出了方程（2-1）的解， 并表示为以下无穷级数的形式：

φ（x）=f（x）+■λm■Km（x，s）f（s）ds              （1-5）

其中前n項和就是φn（x）

我们也可以按下面的步骤求第二类Volterra积分方程的解。

设方程（1-1）的解存在且可展开为关于λ的幂级数：

φ（x）=ψ0（x）+ψ1（x）λ+ψ2（x）λ2+…+ψm（x）λm+…

=  ■ψm （x）λm                               （1-6）

把（2-6）代入方程（1-1）， 两端λ的同次幂的系数该相等， 得到

ψ0（x）=f（x）

ψ1（x）=■K（x，s）ψ0（s）ds

ψ2（x）=■K（x，s）ψ1（s）ds

……

ψm（x）=■K（x，s）ψm-1（s）ds                  （1-7）

于是， 式（1-6）， （1-7）给出了方程（2-1）的解。

当求得ψ0（x），ψ1（x），ψ2（x），…，ψm（x），…代入级数（1-6）， 该级数对任意λ绝对收敛和一致收敛， 于是积分方程（1-1）对任意λ存在唯一解， 且由式（1-6）给出。 如前所述， 而我们在对第二类Fredholm型积分方程运用逐次迫近法时候λ并非任意而是必须满足一定条件时近似解才收敛。

参考文献：

[1]张石生， 积分方程[M]. 重庆： 重庆出版社， 1988.

[2]赵桢，奇异积分方程[M].北京：北京师范大学出版社， 1984.

[3]陈传璋， 侯宗义， 李明忠， 积分方程论及其应用[M]. 上海： 上海科学技术出版社， 1985.

[4]H·N·穆斯海里什维里， 朱季讷译， 奇异积分方程[M]. 上海： 上海科学技术出版社， 1966.

[5]Green C D. Integral Equation methods[M]. New York： Barnes， Noble， 1984.