直观表征：让数学问题解决的思维可视化

强振宇 强震球

【摘要】在“数与代数”的教学中，引导学生尽可能地通过图画（表）直观表征抽象的数学问题，为学生分析、解决问题提供“拐杖”，帮助学生理解和接受抽象的数学内容和方法，从错综复杂的关系中直观、清晰地展示数量关系、呈现思维，能够取得较好的教学效果。

【关键词】直观表征;问题解决;思维可视化

【中图分类号】G623.5【文献标识码】A【文章编号】1005-6009（2015）17-0038-02

【作者简介】1.强振宇，江苏省江阴市璜塘实验小学（江苏江阴，214407），高级教师，无锡市学科带头人。2.强震球，江苏省江阴市实验小学（江苏江阴，214400），高级教师，江阴市名教师。

小学生的思维水平处于从具体形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们的数学学习离不开具体事物的支持。在教学中，将抽象的数学问题与直观的图形语言有机结合，将数学问题、看不见的思维过程和方法清晰地呈现出来，充分展现数学问题的本质，有助于学生打开思维的大门，培养直观意识与能力，提升直观素养。

一、动态表征：“静动转换”现思维

对于动作思维和具体形象思维占优势的小学生，在教学中，应力求把抽象、静态的数学问题设计成有形的活动，让学生在转换过程中感受具体、动态的数学，彰显思维。

例如：教学苏教版三上《长方形和正方形的周长》，有一类“拼图形求周长”的实际问题，其中“用相同的长方形拼并求周长”的情况比较复杂，学生遇到“拼成的图形的周长最多是多少”这样的问题更是束手无策。因此，在教学中应指导学生让枯燥的文字动起来，在动中感受、体验、发现、思考并解决问题。（1）拼一拼。用两张同样的长方形纸拼成一个长方形，自然生成两种拼法——两长相连、两宽相连。（2）描一描。描出拼成的长方形的周长，两长相连周长是：2长4宽，拼掉2长;两宽相连周长是：4长2宽，拼掉2宽。（3）计算周长，比较小结：两宽相连拼成的图形的周长长。（4）优化提升方法：拼成的图形的周长=原来一个长方形的周长×2-拼掉的长或宽。这一拼、一描、一算的动态操作尽显学生深刻的思维。

二、图形表征：“图形语言”现本质

数学本质，从宏观上讲就是数学观问题，即“什么是数学”，在微观上是指具体数学内容的本真意义。某个具体内容的数学本质，既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性，更表现为蕴含在具体数学知识与技能中的数学思想方法。因此，在平时的教学中，不能为解题而解题，应该讲清楚题目背后的东西、知识的来龙去脉以及实际问题所体现的思想方法……这是能够让学生终身受益的。

“连桶称油”（如：一桶油，连桶称共30千克，倒出一半的油，连桶称还有16千克。原来桶里的油有多少千克？桶重多少千克？）是一种常见的实际问题，很多学生难以找到解决问题的关键点，个别学生只是“跟着感觉”对数据特征进行拼凑，而说不清数量之间的关系，更不能从“连桶称油”前后的质量变化中体会到桶质量的不变。因此，解决问题时，可以让学生用图形表征“连桶称油”前后的情况。在画图过程中，学生能直观感觉到：桶和油的质量从原来30千克变成16千克，少的一半质量就是油的质量，两次称重桶的质量不变。

在上述启示之下，还有的学生这样计算：16×2=32（千克），32-30=2（千克），30-2=28（千克）。看到这样意外的解答，许多学生一下就蒙了，最不理解的是“16×2=32（千克）”。学生用图形和假设的思路叙述自己的想法：倒出一半油，连桶称16千克，也就是说半桶油与1只桶的质量一共是16千克，那么1桶油与2只桶的质量就是16×2=32（千克），因为1桶油与1只桶的质量是30千克，1只桶的质量就是32-30=2（千克），1桶油的质量就是30-2=28（千克）。大家顿时豁然开朗了。学生很好地借助直观图形寻求到了解决问题的方法——在图中解释，在图中理解。最关键的，在这个过程中，学生运用直观图形合情推理，感悟到的是转化与不变的数学思想。数学学习不仅仅局限于形式化的表达，更重要的是通过表达能正确地认识数学本质，建立人对自身体验与事物体验的对应关系。

三、自主表征：“图形说话”现方法

格式塔心理学认为，通过顿悟问题情境的内在性质来解决问题，可以避免与这一问题情境不相干的大量随机的、盲目的行动，而且有利于把学习所得迁移到新的问题情境中去。顿悟学习的核心是把握事物的本质，而不是无关的细节。三年级学生开始学习的两步计算实际问题，大多数是数量关系较直接、简单的问题情境，学生通常能主动寻找、选择有用的信息来分析解答。然而，当遇到信息较多、条件相对隐蔽、有点说不清道不明的数学问题时，学生解题时就会胡乱找数量之间的关系。为了避免这种盲目的举动，培养学生挖掘隐蔽信息的意识和能力，教学时应经常鼓励、指导学生面对具体问题时用自己理解的图形来表征题意，启迪学生思考，自觉建构解题过程。

例如：苏教版三上“解决两步计算实际问题”练习中有一道买面包的问题：小丽买了8个面包，小华买了6个面包，小明买了7个面包，小丽比小华多用14元钱，小明花了多少钱？很多学生无从下笔，原因是求不出每个面包的价格。有的学生就通过画图找到了问题解决的突破口，思维过程清晰可见：小丽比小华多买的2个面包，就是14元，算出每个面包的价钱，用单价乘数量就是小明花的钱。用画一画的方法，把内隐的“多用14元”与“多2个面包”之间的数量关系变得直观，问题便迎刃而解了。正如数学家克莱因所说：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上。”善于从直观特征研究问题往往能顿悟问题的解决方法，并能在学生记忆中保持较长的时间。

四、数形结合：“直觉观念”现理性

数学家拉格朗日曾经说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但当这两门学科结合成伴侣时，它们就相互吸收新鲜的活力，从而以快速的步伐走向完美。”因此，在数学化的过程中把数与形有机结合起来，让学生感悟直观，建立直觉观念，是促进数学理解和运用的有效手段。

“篱笆围苗圃的长方形周长计算”是三年级学生学习“周长”时常见的实际问题。“靠墙围”计算周长最小值是学生掌握的难点。“靠墙”“至少”等关键性词语对学生而言有与没有无关紧要：不经意中学生就会用两长加两宽的方法来计算。如果学生真正理解了题意——靠墙的长方形苗圃怎么围，那么，在两种情况的对比中，“至少”的问题也就能迎刃而解了。（1）动手靠一靠：让学生用直尺当墙，把长方形纸当苗圃，直观得出两种方法（长边靠、宽边靠）。（2）指一指篱笆所在的边。让学生指出篱笆的几条边时，有学生很快回答“2宽1长围用的篱笆最少”。（3）“果真如此吗？”接下来分组进行讨论，用已有知识来证明“长边靠墙围用的篱笆最少”。这样，直觉的任务已完成，留下来的是形象思维和逻辑思维的任务：分别算出两种不同围法所用篱笆的长度，对比答案作解释。还有学生根据长方形长和宽的特征，结合周长的意义作出了合情推理：长边靠墙围篱笆要1长2宽，宽边靠墙围篱笆要2长1宽，长方形的长比宽长，显然长边靠墙围篱笆最少。直觉使学生直接深入问题的核心，很快作出了判断。学生主动直接在纸上画出两种围法，借助图形思考，更加简洁快速地获得了答案，很好地展示了直观的理性思维。

把学生解决问题时看不见的思维过程呈现出来，教师据此了解学情，及时调整自己的教学，让学生学习摸得到的数学，有利于让数学教学回归本质，提高数学教学的效能。