LC空间中极大极小不等式问题的相关研究

叶久龄

一、引言及预备知识

1.引言

关于KKM定理的研究是目前非线性问题研究的热点内容之一，目前常见的研究，有些是空间条件复杂化，有些是集合条件复杂化，但采用加强空间条件以减弱集合条件的研究尚属少见，作者利用该思想进行了相关研究.关于本文KKM定理的研究，学者Yang Z.,Pu Y.J.仅仅是在假设局部凸空间的前提下，对应紧凸集给出了相应的KKM定理，但对LC空间上对应H-紧、H-凸集的研究尚属少见.作者在LC空间上对应H-紧、H-凸集给出了相应的KKM定理,并在该KKM定理的基础上在LC空间上给出了相关的极大极小不等式应用，具有一定的理论意义.

2.预备知识

定义1.1[1]：若S中的恒等映像与常值映像同伦，则称S是可缩集.

注：拓扑向量空间中每个凸集都是可缩集.

定义1.2[1]：设E是Hausdorff拓扑空间，是E的非空可缩子集的某个族，A与A＇是E中一切有限子集，若满足则称为H-空间.

定义1.3[2]：设D是H-空间中的一个非空子集.若，则称D是H-凸集；若A是可缩的，则称D是弱H-凸集；若且是紧、弱H-凸集合，则称D是H-紧集.

定义1.4[3]：设E是基γ的一致空间，且基γ具有满足下列条件的一致结构：

注：为了叙述方便，我们将l.c.-Hausdorff空间简称为LC空间.

定义1.5[2]：设F是一个集值映射，若对Y的任意闭（开）子集是闭（开）的，则称F：E→2Y上半连续(下半连续).若F即是上半连续又是下半连续，则称F连续.

定义1.6[4]：设X是LC空间 中的非空H-紧、H-凸子集.若对任意具有闭值的上半连续映射f:X→X都存在不动点，则称X具有不动点性质.

二、LC空间中的KKM定理

定义2.1[5]：设 是LC向量空间，X是E的非空H-紧、H-凸子集，F：X→E是一个集值映射，若对有限子集 ，存在一个连续函数： ，使得对任意λ∈△n，存在一个i∈J（λ）使得 ，则称F是广义KKM映射.

引理2.1[6]：设是LC空间，若是非空H-紧的，T：E→2D是上半连续集值映射且对每个x∈E，T(x)是闭H-凸集，则T有不动点.

注：因为连续集值映射显然是上半连续的，所以引理2.1对连续映射也成立.

三、常值形式的Ky Fan极大极小不等式

定义3.1[7][10]：设X是LC向量空间 中的一个非空H-紧、H-凸子集，若对任意有限子集 {y1,y2,…，yn} X，存在连续映射：，使得，存在 α∈(- ，+ )，α≥则称 f（x，y） 关于 y∈X是 α-拟凹的.此时 λ=（λ1,λ2, …λn）∈ ，J(λ)：={i∈{1,2,…,n}|λi>0}，：={（λ1,λ2,…λn）

定理3.1：设X是LC向量空间 中的一个非空H-紧、H-凸子集.若函数f:X×X→R∪{+ }满足：

（1）对于y∈X，f（x，y）关于x∈X是下半连续的；

（2）对于x∈X，f（x，y）关于y∈X是α-拟凹的；

则存在x*∈X使得对于任意y∈X，f（x*,y）≤α.

证明：若 α=+ ，结论显然成立.设- ＜α+ ，若集值映射F：X→2X满足:对于y∈X，F（y）={x∈X|（fx，y）≤α}.又由条件（1）可得，对于y∈X，（fx，y）关于x∈X是下半连续的，则F（y）在X中是闭的.由条件（2）可得，对于任意有限子集{y1,y2,…，yn} X，存在一个连续映射，使得∈，存在α≥mini∈J(λ)f（（λ），y）i，此时 λ=（λ1,λ2,…λn）∈，J(λ)：={i∈{1,2,…,n}|λi>0}.则 ，使得 α≥mini∈J(λ)f（（λ），y）i=f（（λ），yi0）.由F的定义可得 （λ）∈F（yi0），则F是广义KKM映射.再由定理2.1可知，.若令 ，则存在x*∈X使得对于任意y∈X，（fx*,y）≤α.

四、函数形式的Ky Fan极大极小不等式

定义 4.1[8]：设是一个 LC 空间，B E，YE.若对于任意B的有限子集{e1,e2,…，en}，存在一个连续映射：使得 （f)）≥mini∈J(λ)（fei,(λ)）对于任意的 λ=（λ1,λ2,…λn）∈ 成立，此时：{i∈{1,2,…,n}|λi＞0}.则称函数 f：E×Y→R 在 B 上是广义拟凹的.

定理4.1：设X是LC向量空间 中的一个非空H-紧、H-凸子集.若函数f:X×X→R满足如下条件：

（1）对于任意给定的y∈X，f（x，y）关于x∈X是下半连续的；

（2）对于任意给定的x∈X，f（x，y）关于y∈X在X上是广义拟凹的；

（3）对于任意x∈X，存在给定的γ∈R，使得f（x，x）≤γ.

则存在x*∈X使得对于任意y∈X，f（x*,y）≤γ.

证明：设集值映射 F：X→X 为：对于 y∈X，F（y）={x∈X|f（x，y）≤γ}.则对于任意给定的y∈X，由条件（1）成立可得，F（y）在X中是闭的.又因为对于任意给定的x∈X，由条件（2）成立可得，对于任意X的有限子集{y1,y2,…，yn}，存在一个连续映射： →X，使得对于任意λ=（λ1,λ2,…λn）∈，存在f（(λ)）,(λ)≥mini∈J(λ)f（(λ),yi).

此时：：={（λ1,λ2,…λn）J(λ)：={i∈{1,2,…,n}|λi＞0}.

若存在一个 λ0∈ 使得对于任意i∈J（λ0）有，则对于任意i∈J（λ0）有 （f(λ0),y）i＞γ.因此 （f(λ0),(λ0),）≥mini∈J(λ0)（f(λ0),y）i＞γ.

由于这与对于任意x∈X，f（x，x）≤γ矛盾，则对于任意λ∈，存在i∈J（λ）使得(λ)∈F（yi）.由定理2.1可得 .则存在x*∈X使得对于任意y∈X，f（x*，y）≤γ.

五、向量形式的Ky Fan极大极小不等式

定义5.1[9]：设是一个Hausdorff拓扑空间，Z是一个带有锥P的Hausdorff拓扑空间，P是一个非空凸闭的尖锥且int P≠ ，并有A M，Y M.若对于任意有限子集{a1,a2,…，an} A，存在连续映射：→Y，使得对 λ=（λ1,λ2,…λn）∈ ，存在 i∈J（λ）使得 f（（λ））∈（fai，（λ））+P，此时 ：=（{λ1,λ2,…λn） ,λi≥0}，J(λ)：={i∈{1,2,…,n}|λi＞0}.则称函数 f：M×Y→Z 在 A 上是 P-拟凹的.

定义5.2[9]：设是一个Hausdorff拓扑空间，Z是一个带有锥P的Hausdorff拓扑空间，P是一个非空凸闭的尖锥且int P≠ .若对于在Z中任意具有0元的开邻域V，在X中存在一个x0的开邻域U，使得对于任意 x∈U，f（x）∈f（x0）+V+P.则称向量值函数 f：M→Z在x0∈X上是P-连续的.若在X的每一点上f都是P-连续时我们称f在X上是P-连续的.

定理5.1：设X是LC向量空间 中的非空H-紧、H-凸子集.Z是一个带有锥P的Hausdorff拓扑向量空间，P是一个非空凸闭的尖锥且int P≠ .若映射f：X×X→Z满足如下条件：

（1）对于任意给定的y∈X，f（x，y）关于x∈X是P-连续的；

（2）对于任意给定的x∈X，f（x，y）关于y∈X在X上是P-拟凹的；

（3）对于任意x∈X，f（x，x）int P.

则存在x*∈X使得对于任意y∈X，f（x*，y）int P.

证明：设集值映射 F：X→X 为:y∈X，F（y）={x∈X|f（x，y）int P}.对于任意给定的y∈X，设X的网{xα}满足xα→X,xα∈F（y）.若x F（y），则f（x，y）∈int P，因此在Z中存在0的开邻域V使得f（x，y）+V int P.由条件（1）可得，对于任意给定的y∈X，X中x的开邻域 U 使得对于 x0∈U，f（x0，y）∈f（x，y）+V+P int P+Pint P，则存在α0使得对于任意α>α0有f（xα，y）∈intP.由于这与 xα∈F（y）矛盾，则 F（y）在 X 中是闭的.

对于任意给定的x∈X，由条件（2）可得，对于任意有限子集{y1,y2,…，yn} X，存在连续映射：→X，使得对 λ=（λ1,λ2,…,λn）∈，存在i（0λ）∈J（λ）使得此时 ：=（{λ1,λ2,… λn）,λi≥0}，J(λ)：={i∈{1,2,…,n}|λi＞0}.若存在 λ0∈，对于任意 i∈J(λ0)，使得（λ0）（y）i，则对于任意i∈J（λ0），（f（λ0），y）i∈int P.因此 f（（（λ0）），（（λ0）））∈f（（λ0），+P int P+P int P.由于这与对于任意x∈X，（fx，x）P矛盾，则对于任意 λ∈，存在 （iλ）∈J（λ）使得（λ）∈F（y（iλ））.由定理2.1可得，，则存在x*∈X使得对于任意y∈X，f（x*，y） int P.

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