小学数学思维能力教学案例与分析

张丹 崔光佐 安秀梅

2011年版数学课程标准（修改稿）中确定小学数学的课程总体目标是学生知识技能、数学思考、问题解决、情感态度的整体发展与实现。新课标在注重基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的同时，突出强调要进一步促进学生运用数学的思维方式进行思考，增强其发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。数学课程在我国基础教育中起着非常重要的作用，其目标不仅仅是使学生获得数学本身的知识，更重要的是通过数学教育培养学生的思维能力和创新能力。

在数学课堂上，教学目标的准确把握和定位是教学设计和教学活动实施的灵魂所在。小学数学新课改以后，究竟如何将思维能力培养作为教学目标，并以此为依据进行教学设计和课堂实施呢？在对部分数学教师进行访谈后发现，对于某些具体课程大家并不能十分确定将哪一种数学思维能力的培养作为本节课的教学目标；即便是教学目标相同的课，由于教学设计和教学活动不同，导致教学效果可能千差万别，学生在课堂上所获得的知识、技能、思维能力也不尽相同。

那么，如何确定小学数学课程需要重点培养学生的哪些数学思维，如何以这些思维能力的培养为目标来进行教学设计，确定教学内容和教学方式，又如何按照教学设计来进行课堂实施，在实际教学过程中如何操作？本文以小学数学六年级《扇形》一课为例，系统展现了如何明确某一节课教学内容的主要思维能力，如何设计与完善教学问题，如何组织教学任务的研究与实践过程。

教学设计

（一）教材分析

《扇形》是义务教育课程标准人教实验教科书《小学数学》 六年级上册第五单元的内容。根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》对相关内容的调整，“扇形”由选学变为正式教学内容。扇形的内容是学习扇形统计图的必要基础，是学生在学习了圆的认识、周长和面积的基础上进行认识学习的，属于图形与几何的范畴。学好扇形这部分内容有利于提高学生的动手能力，对培养学生在日常生活中应用数学的意识和能力有着重要意义。

不同版本的教材对本节内容的侧重点是不同的（如图1）。人教版和北师大版的教材首先呈现了名称中含有“扇”的物体，引出问题：什么是扇形？然后结合图示，以直接介绍的方式，把扇形这个数学名词与学生已有的生活经验建立联系，目标是使学生认识扇形，掌握扇形的一些基本特征。而台湾部编版的教材则是在介绍“弧”“扇形”“圆心角”等术语的含义以后，让学生掌握一些简单的弧长或圆心角的计算。通过对几个版本教材的分析，结合学生的特点，本节课的设计考虑重点引导学生在解决实际问题的过程中认识扇形，通过圆和扇形之间的转化关系来促使学生掌握扇形的特征。

（二）学情分析

在学习本节课之前，学生在四年级已经掌握了角的度量，比较熟悉平角、直角等知识。在六年级（上）第五单元里已经认识了圆，学会了用圆规画圆，掌握了圆的基本特征，理解和掌握了圆的周长和圆的面积计算公式，并能够解决一些相应的实际问题。同时学生已具备了初步的动手操作能力和主动探究能力以及合作学习的习惯，形成了一定的空间观念。

为了深入了解学生，设计了下面的问题：

通过调研发现：绝大部分学生已经在课前都了解扇形会有“两条直的边，一条弯的边”，说明学生对于扇形也有一定的知识积累和生活经验，为扇形的认识也打下了一定的基础；极少数学生能感觉到扇形与圆心角和半径相关，而扇形的大小与半径和圆心角怎么相关，学生全然不知。

（三）设计思想

在“扇形”的教学中，更多的教师在课堂中是引导学生回忆生活中出现的类似“扇形”的物品，然后直接介绍“扇形”“弧”“圆心角”等术语的含义。《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两条半径和这两条半径所截一段圆弧围成的图形叫做扇形。但是如果这样按照定义直接介绍扇形的各个组成部分，学生理解起来比较抽象，扇形和所在圆的关系更是难以理解，学生也不知道扇形在生活中有什么实际的用途。因此，在充分研究学生认知特点和教材的基础上，抓住新旧知识的衔接点，遵循从猜测、探究、验证、结论到应用的规律是本节课设计的主要特点。

为了使学生能够自主探究出扇形的概念与特点，我们设计三步探究活动来突破难点。活动一：通过生活中真实发生的关于扇形灌溉的问题，让学生利用圆规画出扇形，初步感知扇形的特点。活动二：求出扇形相关的面积，理解扇形与所在圆、圆心角和半径之间的关系。活动三：由学生讨论、总结出扇形的定义和各组成部分。

三个探究活动的设计将学生引入问题情境，让学生自然地利用扇形和圆的关系来探究扇形，潜移默化地向学生渗透了“化归”数学思想，引导学生思考，让学生逐渐成长为一个独立的学习者。

教学过程

（一）教学目标

知识与技能：能够理解扇形的定义，能够计算一些简单的扇形相关的面积。

思维能力：能够利用扇形解决一些简单的问题，能够自主探究发现扇形的定义和扇形与所在圆、圆心角和半径之间的关系。

过程与方法：学会细心观察、大胆猜测、有序操作、抽象概括；能了解推理问题的一种思路，即猜测、探究、验证、结论、应用；理解“化归”数学思想。

情感、态度与价值观：在探究活动中激发创新意识，提高创新和实践能力；感悟探究的乐趣；增强对科学探究的兴趣，享受成功的喜悦。

（二）教学重点、难点

教学重点：利用扇形与所在圆的关系计算简单扇形的面积。

教学难点：通过操作活动探究扇形与所在圆的关系，并能利用结论解决问题。

（三）教学实施

1.情境引入，问题准备

师：同学们，见过这样的喷灌装置（如图3）吗？

生：见过。

师：谁来给大家简单介绍一下这种喷灌装置是怎样工作的？

生：那个喷嘴转的时候，水就浇灌，喷嘴转多少度，水就一直浇灌多少度。喷嘴浇过水的地方应该是个扇形。

师：很好，既然大家都见过类似的喷灌装置，今天我们就来解决一个和喷灌有关的问题。

2.问题探究，自主发现

（1）初步感知扇形

师：某小区有一块草坪（如图4），现在B点处安装一种喷灌装置，喷头可旋转120°，最远喷射距离为10米。哪些地方还需要人工浇灌，请用阴影部分表示出来？

师：谁来说说，你是怎样找到图中哪些地方是自动浇灌，哪些地方是需要人工浇灌的？

生：喷射距离为10米，就先在将圆规两脚的距离量成AB那么长，然后以B点为圆心画个大圆，图中在圆里的部分是自动浇灌的，剩下的是人工浇灌的，就涂成阴影。

（2）理解扇形与圆的关系

师：你们能求出阴影部分的面积吗？赶快把你的思路写下来。

学生交流汇报。

生：阴影部分面积=梯形面积-扇形面积

师：你们是怎么求出扇形面积的？

生：扇形这个角是120°，是圆360°的1/3，所以扇形的面积就占所在圆的面积的1/3（如图6）。

师：那大家说说扇形的面积与什么有关系？

教师出示半径不同、圆心角相同的扇形和半径相同、圆心角不同的扇形。

学生讨论汇报。

（3）认识扇形

师：我们在解决问题的过程中，认识了新的图形——扇形。谁来准确描述一下什么样的图形是扇形，或者说扇形有哪些特点？

学生汇报交流，认识各部分名称。

教师板书：扇形、弧、半径、圆心角。

3.观察比较，联系巩固

师：请判断，图7中的阴影部分是不是扇形？

学生汇报总结。

师：求图8扇形的面积。

图8 扇形计算练习题目

生：扇形的圆心角是60°，占所在圆的1/6，所以这个扇形的面积是所在圆的1/6，所以扇形的面积=3.14×6×6÷6=18.84。

4.拓展提高，解决问题

师：你能求出图9阴影部分的面积吗？

生：用大扇形的面积减去小扇形的面积。或者大圆的面积减去小圆的面积再除以4。

5.课堂小结，感知收获

师：同学们，这堂课大家觉得有什么收获？

生：我们知道了什么是扇形，扇形是由顶点在圆心的角的两条半径和这两条半径所截一段圆弧围成的图形。扇形有半径、圆心角和弧。

生：我们还知道了利用扇形的圆心角占所在大圆的几分之几来求扇形的面积。

师：很好，大家收获了这些知识，还有其他的吗？我们是怎么研究扇形的？

生：我们就是先画图，然后比较扇形和所在圆的圆心角，在求扇形面积的时候，都去找圆心角，看它和所在圆的关系。

师：总结一下同学们刚刚说的，在今天的扇形的研究过程中，动手画图是我们的第一步，我们确实经历了猜想、探究、验证、结论、应用的过程，而且在这个过程中，我们不断地联系旧知识解决遇到的问题，把不会的知识转化成之前学习或研究过的知识。那么今天这节课大家学习的开心吗？

生：开心！因为知识都是我们自己研究出来的！

师：数学知识很有趣，他们之间的联系很有规律，只要去探究，就会有发现。

（四）教学评价

本节课的教学评价以教学目标的落实为依据进行设计和实施，主要从以下三个方面展开。

探究观察：教师在授课过程中观察学生的反应，适当提示、启发引导学生探究思考，关注学困生的发展，对学生在探究过程中出现的错误给予正确评价与引导。学生利用圆规画图，找出扇形和所在圆之间的关系。

练习拓展：在学生做练习拓展题目时，巡视指导， 对解题有困难的学生适当点拨。教师巧妙利用学生的现场生成，捕捉到良好的教学资源为我所用。学生积极主动地投入学习，遇到困难听取他人意见或交流合作解决问题，对新知进行再思考、再创造。

课后交流：教师选择不同层次的学生进行课后交流， 了解学生对本节课教学内容的掌握情况，了解学生对推理、化归等数学思想的体悟和收获。

思维能力教学一学年前后测对比试验结果

选取北京市门头沟区四所小学的四个班级参与实验，两个为实验班，两个为对照班。实验班实施为期一年的数学思维能力教学，对照班按照常规讲授式进行教学。

为排除前测中各班级的瑞文成绩差异性对结果的影响，使用单因素方差分析对前测与后测的瑞文成绩进行处理。首先使用K-S检验验证实验班与对照班成绩的正态分布性，结果如表1所示。

实验班与对照班的瑞文成绩的K-S检验结果表明，这四组成绩数据符合正态分布性（Sig>0.05），且这四组成绩间没有关系，相互独立，可以使用单因素方差分析。

对瑞文量表数据进行单因素方差分析结果如表2所示。

单因素方差分析结果表明：前测时，实验班与对照班的瑞文成绩间不存在显著性差异（F=0.96， Sig>0.05）；经过一个学年的数学思维能力教学后，实验班与对照班的瑞文成绩存在显著性差异（F=2.63， Sig<0.05）。

虽然实验班与对照班前测成绩在差异，但使用单因素方差分析可排除这种差异性的影响，分析结果表明前测两组数据不存在显著性差异。后测时实验班成绩高于对照班，且达到显著性差异，说明经过处理因素（即思维能力教学）的影响，学生的推理能力比常规的讲授式教学取得更好的发展。

总结与反思

思维能力是通过学生体验成功解决问题的过程获得的，解决什么样的问题就会产生什么样的能力，但前提一定是学生自己体验解决问题的过程，而不是理解解决问题的过程。因此，思维能力教学的关键是：设计相应的问题或活动，然后让学生体验解决过程。根据具体的教学内容设计不同的思维能力目标，根据不同的思维能力目标设计具体的问题。课堂教学是与学生一起解决问题，通过自身的行为方式积极影响学生的行为，通过鼓励增强学生克服困难的信心，最终促进学生充分体验解决问题的过程，提高思维能力教学的效果。

当学生思考一定时间仍没解决问题时，就要启发促进学生思维。启发的目的是让学生完整地经历解决问题的过程，体验解决问题的成就感和愉悦感。启发实际上起着一种替代作用，替代学生解决问题的一部分工作，因此，启发所代替学生的工作越少越好，尽量让学生自己多思考，自己发现解决方案。例如，学生在汇报“阴影部分面积=梯形面积-扇形面积”以后，教师只是提问“你们怎么求出扇形面积的”，然后由学生小组上前汇报，并由学生其他学生对汇报的结果展开质询，引发学生的深度思考。又如，在总结扇形的定义与基本特点时，教师也只是让学生用自己的语言凝练出最准确的扇形的定义，在一次次的质询和学生的修正过程中，使学生深刻地掌握扇形的概念。这种启发才能使学生完整地体验问题解决的过程，包括经历困难、愉悦等的“酸甜苦辣”。

注：本文系国家社会科学基金“十一五”规划课题《课堂交互产生学习结果的认知模型与仿真研究》（课题批准号BCA100023）阶段性成果。

（作者单位：黑龙江牡丹江师范学院工学院 北京师范大学教育技术学院 北京市门头沟区大裕第二小学）