高中数学《必修一》教材研究初探

王维红

每年的高考经常就教材的例题、习题进行引申、变化和拓展，以命制新的题型。教师必须研究高考动向，对课本内容及课本中的例题、习题进行深入挖掘，学会创造性地开发教材，用教材的时侯想高考，研究高考的时侯多思考教材教过什么，把教材与高考联系起来。每年的考试命题甚至高考命题都离不开教材，笔者以《必修一》为例，浅谈对教材内容的见解。

一、三章内容“一个中心”——函数

教材《必修一》从整体上对函数进行了研究，虽然分三章来讲，但始终围绕函数概念的深化、性质的研究、方法的归纳和具体的运用等方面去研究。教材中很多内容都有衔接与照应：

教材从第1页就提出了函数的重要性和广泛性，是高中数学的重要内容之一。

在第15页提到初中已经学习过函数的概念，19页提出在初中已接触过函数的三种表示方法。

第16页高中的“集合对应”说函数，是函数概念的进一步完善。我们可以结合第26页函数发展历程去了解，再结合第19页提出的思考去进行比较。

第27页提出了函数的重要性——为了描述事物运动变化规律的数学模型。

第43页总结了研究函数的方法：几何直观（形）入手，再进行自然语言描述函数的图像特征，最后用符号（数）刻画，体现了“数形结合”的思想方法。

第47页提出指数函数、对数函数、幂函数三类函数的重要性。

第85页提出要“运用函数思想解决实际问题”。

第95页提出函数模型（渗透数学建模思想）。

第106页提出数学建模的基本过程与步骤。

第108页利用几何画板作出较复杂的函数图象，从而可以探索复杂现象的变化规律。

二、研究方法

数学上研究问题的方法很多，《必修一》大体体现了以下的一些方法：

1.类比方法：第6页到第8页通过两数关系来类比两集合的关系；第30页仿照最大值得出最小值；第33页奇偶性的类比。

2.推广方法：第80页对幂指数概念推广，第87页由特殊函数的零点推广到一般函数的零点。

3.具体到抽象、特殊到一般：这种方法在教材中贯穿始终。

4.化归方法：方程的实数解化归为函数图象与x轴交点的横坐标。第112页6题方程的实数解化归为两个函数图象交点的横坐标。

5.“观察——猜想——推理——证明”的方法：教材中第30页运用了这种研究方法。

6.数形结合法：这是教材中研究函数的基本方法。

7.推理方法：第39页第3题、第40页第10题与第45页第6题通过推理判断进一步得出偶函数的单调性特征，同时推出奇函数的单调性特点，为学生思考总结提供了很好的例子。

三、例题和习题的拓展

挖掘课本例题和习题的丰富内涵，并加以总结提炼，发现规律性结论，能实现课本资源的最大优化，是每个数学教师最好、最实用的研究课题。只要我们每个教师都能经常就教材中的典型问题进行适时引导、探究和挖掘，并加以总结，让学生认真体会其中蕴涵的数学思想方法，学生的学习兴趣一定能得到充分调动，数学思维一定能得到良好发展，数学素养一定能不断提高，教师的教学也就能达到理想的效果。教材中可以拓展的例题和习题有很多，比如以下的例子：

1.第45页第4题针对分段函数增设奇偶性判断、最值、单调性等问题。

2.第44页第9题改变成求函数最值问题更能激发学生的兴趣。

3.第45页第5题可拓展为对函数凸凹性的探究。

4.第35页例5（3）和第36页练习第1题（3）可进一步研究函数图象及性质。

5.联系第25页第1题图及指数函数的图象对第78页提出的性质探究可引入渐近线的概念，第81页要求讨论 的基本性质。

6.第35页例5（3）和第36页练习第1题（3）可进一步研究函数图象及性质，最后拓展到对“对勾函数”的研究。

四、承前启后

教材中的很多环节起到承前启后的作用，比如：

1.第10页数的范围一步步扩充的原因，为学复数打伏笔，范围的不同导致结果的不同实际就是强调范围（定义域）的重要性。

2.第49页到第52页对幂指数的推广为进一步学指数做好准备。

3.第43页通过表格提示“一次、二次、反比例、指数、对数、幂、三角”函数是高中重要的函数，方程、数列、不等式与函数密切联系。

4.第94页给出二分法的程序框图为以后学习《必修三》进行适当渗透。

5.教参第24页给出函数需研究的性质有：第一，函数的增与减（单调性）；第二，函数的最值；第三，函数的增长率、衰减率；第四，函数增长（减少）的快与慢；第五，函数的零点；第六，函数的对称性（奇偶性）；第七，函数的循环往复（周期性）；第八，值域。

6.教参第24页研究函数“三部曲”：第一，观察图象，描述函数图象特征；第二，结合图、表，描述函数图象的特征；第三，用数学符号的语言定义函数的性质。

总之，作为一名高中数学教师，应不断钻研教材，深入探寻解决问题的研究方法，对教材中的例题和习题加以适当拓展，引导学生更好地学习数学知识。

（责任编辑 冯 璐）