走出“计算”误区，体会真正的数学

杨茸

摘 要：高等数学中的部分定义与定理具有高度抽象性，并且有很强的逻辑关系，教师不易教，学生不易学，以至于在教学中出现了教师对其进行大量的删减，让学生陷入了不明原理，只会“计算”的错误现象中。本文针对这种现象，对教学过程中抽象的定义与定理知识讲解的处理进行了研究，提出了具体的方法与建议，让学生体会真正数学。

关键词：高等数学 定义与定理 教学 数学素养 数学能力

在现今很多领域中，数学的身影无处不在，高等数学作为非数学专业的一门重要的专业基础课，有着极其重要的作用与地位。而在高职教育中，因为生源大多是来自技校或高考落榜的学生，其数学基础比较薄弱，但高等数学中部分定义与定理内容较抽象，不好理解，这对于授课的教师来讲，是一个不好处理的难点，以至于在高等数学教学中，出现了“教师难教，学生难学”的现象。针对这一难点，很多数学教师在对这些抽象、不好理解内容的处理时，进行了删减，把大量的抽象的理论知识一句话带过，甚至直接删除，而把教学的重心完全放在了高等数学的计算方法与计算技巧上，以直接教会学生数学的计算为目的。这样一种教学方法承接了一些中学的“应试”教育，数学的潜在价值没有真正体现出来，同时也违背了开设高等数学这门课程的初衷。

一、学习定义定理的重要性

1.教学大纲需要抽象的定义定理

高职高专的高等数学教学大纲，明确地说明了学习高等数学的目的：培养学生运用数学来分析、解决实际问题的能力，培养学生的空间想象力和抽象的逻辑思维能力，训练他们用数学思想、概念、方法并结合自己的专业把所学理论和方法运用于实践，为后续各课程的学习奠定较好的数学基础，形成一定的数学思想。

从大纲可以看出，该课程除了使学生掌握必要的数学知识以外，更重要的是让学生收获能终生受益的数学素养和数学思维，从而提高应变能力与创新能力。由于很多数学思想都在这些抽象的定义与定理中有所体现，所以大量地删减这些内容，只注重于学生的解题方法的教学，不能让学生体会数学的真正价值，使学数学成了应付期末考试的一种途径。并且，高等数学的学习一旦结束，学生也将会把这门知识抛到九霄云外，这样完全没有形成教学大纲里提到的应有的数学思想，也就更谈不上应变能力与创新能力的提高了。所以要满足大纲的要求，学习抽象的定义定理必不可少。

2.培养数学能力需要抽象的定义定理

虽然定义与定理知识较为抽象，但它对于学生数学意识的形成和数学能力的培养起着举足轻重的作用。数学学习的最终目的无外乎是要把现实中的问题抽丝剥茧，转化为数学问题，然后再用数学知识解决，也就是所谓的数学能力。关于抽象定义定理的学习，例如定理的证明，都有其具体的推理过程，对于这些推理过程的理解，可以让学生体会数学的严谨性，进而形成思考问题时思维的缜密性，以利于在对现实问题进行分析时，能准确无误地将其转化为恰当的数学问题；而对于这些定义定理知识的掌握，在一定程度上又培养了学生的逻辑思维能力，这也是在分析问题时必不可少的一种思维能力。正如一位大学老师所说：“学数学其真正目的是为了驱逐大脑中愚蠢的想法，让我们的大脑真正地聪明起来。”

3.实际生活需要抽象的定义定理

很多抽象的定义定理知识，它的出发点就是实际生活的典型例子，例如常见的某一个变速物体的速度，学生觉得求这个随时都在变化的速度成了一个不容易解决的难点，但从高等数学的角度来看，就是求变化率，也就是抽象的导数定义学习的切入点。所以对抽象定义定理知识的学习，可以让学生更加深刻地了解数学与生活的紧密联系，从而提高学生的数学兴趣，并让学生对现实生活中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的思想，培养学生的实际应用能力。

二、高等数学教学中定义定理知识的处理方法

不少数学教师反映，不是不想授课时强调这些定义与定理，只是因为它们太过抽象，讲解的过程花费的时间长、精力多，但学生理解的效果还是不好，典型的“吃力不讨好”。笔者多年担任高级班高等数学的教学工作，对于这些抽象的定义定理的处理有一些个人的看法，总的归纳为以下四个关键词：引—化—启—控。

1.“引”——引数学史，丰富内容

高等数学中很多定义定理知识抽象，让学习的人容易身陷迷津，而数学史却如指引方向的“路标”，给人以启迪。在课堂上教师适时适当地引用数学史的知识作为补充和指导，能有效地激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，让课堂内容丰富起来。

例如在学习解析几何时，教师给学生介绍解析几何之父笛卡尔，以及他的经典心形线的相关轶事，让学生明白数学可以神奇地让单调的式子变成美丽的图形，并且体会到数学不是枯燥的，它也可以创造浪漫。这样激发了学生的学习兴趣，让学生更好地理解了数学中的代数与几何的紧密关系，为后续的解析几何的学习奠定了基础。数学史可以帮助学生了解知识的逻辑源头，体会数学家的创造思想，这为紧接着数学概念及定理的学习提供了必要的准备。

另一方面，数学史里记录了很多数学家为了得出正确的定义与定理，如何排除万难、历尽艰辛的。学生学习数学史，除了了解定义与定理得出的过程，还会为数学家不畏艰辛、执着追求真理的精神而感动，这将让学生在精神层面上得到一次提升。

我们让学生了解数学的历史，能使那些看似抽象的定义、定理变得丰富生动起来。

2.“化”——化繁为简，重视直观

对于抽象、繁琐的定义定理知识，为了能让学生易于接受，教师只有把知识直观化、简单化。

如在讲解微分这一概念时，可以从其字面意思上下工夫，举例地球本是一个球体，其表面应该是曲面的，可为什么我们站在地球上看到的大多却是平面呢？答案是人肉眼看到的范围同地球的表面相比，简直是微不足道，也就是微分概念中的以直代曲的思想：曲面上微小的局部可以认为是一平面，一条曲线微小的部分也可以认为是直线。这样就给学生提供了一个可以具体的想象的空间，使他们懂得用无数个简单的平面代替复杂的曲面，利用微分这一数学概念解释生活中的现象，加深了学生对这一概念的理解。又如对数列、函数极限概念的处理，教师可改变教材中的定义方式，注重直观，采用通过画数列或函数的几何图形，利用图形直观性的特点来解释定义，从图形中得到极限定义的本质，让学生对极限定义有了更准确的认识。

此外，我们通过多观察实际生活中与数学有联系的例子，把数学概念尽量与周围实事联系起来，让学生能感觉数学与生活的密切联系，也便于理解。比如在讲解定积分定义时，介绍美国著名麻省理工学院的圆形大礼堂，从外形看它的屋顶是一个巨大的不规则的半球，但实际上仔细看是由一个个近似矩形（曲边梯形）的小玻璃窗构成的，这个看似不容易求的表面面积，实际上就是定积分的基本概念——求曲线下面积的办法，即“分割、近似代替、求和、取极限”，同时也巧妙地表明了数学知识的应用无处不在。这样使学生对抽象的定积分的定义，即求曲线下面积的方法加深了理解。

3.“启”——启发引导，自主讨论

对于很多知识的掌握，学生自主探索要比教师一味灌输要来得好。在教学时，教师选择适当的教学内容来安排讨论课，通过合理有针对性的引导，启发学生分组讨论，让学生各抒己见，培养学生的创新思维和创新意识。

例如，微分中值定理的内容抽象、内容理论性强，对初学的学生是一个不容易处理的难点，如果单凭教师的讲授，教学效果一定不好，这时可以选取一些难度适当的典型习题，把学生分成几个小组，通过教师的适当引导，让学生按组自由讨论。在思考讨论过后，学生对微分中值定理中的构造辅助函数的方法有了深刻的印象，以此加深了对这一抽象定理的理解。同时，学生的数学语言的表达能力也得到了提高，主动参与课堂的意识和创新的意识也得到了增强。

又如，在学习洛必达法则时，很多学生都知道这个法则的作用是求无穷大比无穷大或无穷小比无穷小的极限，却并不理解它为什么会与导数有关，是利用分别求导来解题的，但如果引导学生从无穷大增长的趋势来进行分析，同时得到导数的定义其实就是与增长趋势密切相关，问题就可以解决了，这就是洛必达法则的本质所在。

采用教师启发引导和学生自主讨论相结合的教学方法，可以让学生在讨论探索中发现问题并解决问题，体会到发现的快乐，激发了学生学习的兴趣，也增加了学生克服困难的信心。

4.“控”——掌控有度，注重严谨

数学课不同于其他课程，其严谨性非常强，教师在支持学生发挥自己的想象力的同时，要注重掌控好想象的“度”。一些教师为了让课堂更加活跃与生动，让学生漫无边际地发挥自己的想象力，对一些理论知识的理解学生想怎样解释就怎样解释，这样的结果必定是歪曲了知识的本意。所以在课堂上，对于学生的思考学习，首先教师要有正确的引导方向，并且要适时纠正一些学生错误的偏离事实轨迹的想法。

比如学生在学习极限时，对于其中的一个零比零的极限类型，学生误认为高等数学里的分式的分母是可以等于零的，这时应强调此时出现的零是在某一条件下一个趋于接近的结果，并非真正等于零，强调出极限的定义，突出语言表达上的严谨性。

三、小结

大量的实践证明，在数学教学中教师的作用是十分重要的，我们不能为了追求教学上的所谓教学效果而忽视了数学教育的本来意义。数学的影响不是一蹴而就的，而是潜移默化的；数学的精神、思想和方法是数学教育的根本目的。在高等数学的教学过程中，真正理解教学大纲的具体要求和目的，注重各方面的理论知识的教学，把学生从做题、解题的“题海”中解放出来，让数学的精神、思想和方法成为他们关注的对象，并且能努力提高自身的数学素养，养成勤于思考的习惯，增强自身的数学应用能力，真正体会到数学的实际价值，为今后的可持续发展奠定坚实的基础，这才是我们每一个数学教育工作者应该做的事。

参考文献：

[1]张宏伟，浅析高等数学教学方法[J].科技经济市场，2007（6）.

[2]尚仲平，高等数学教学中的学生数学素养培养的几点思考[J].佳木斯教育学院学报，2010（1）.

[3]孙宏安，“数学素质”界定我见[J].数学教育学报，1996（4）.

（作者单位：广东省江门市技师学院）