考虑供给风险及销售努力的动态定价问题研究

□庆艳华 左小德

[1.广州中医药大学 广州 510405; 2.暨南大学 广州 510623]

引言

随着科技的进步和市场竞争的加剧，企业所面临的环境变得更加复杂和不确定，从而导致供应链风险日益增长。不论哪种风险发生在供应链的哪个环节，都有可能对整个供应链条造成巨大的影响。如何减少这种不确定性对企业的影响是学术界和企业同时面临的严峻挑战。尽管较多的研究是有关需求不确定的，但显然不确定性并不是需求独有的特征，供给也同样具有这个特征。目前已经有很多关于供给风险的研究[1]。其中文献[2]对比了确定的供给和不确定的供给情况下的供应链系统绩效，并证明稳定的供给状况会带来更好的供应链整体绩效，不过该文献采用的是固定定价策略[2]。而文献[3]研究了一个反应型的定价策略，它研究的是不确定的供给和确定的需求，并假设需求受价格的影响[3]。文献[4]则更进一步研究了同时面临随机供给和随机需求情况下的动态定价策略，分析了不同情况下动态定价的应用及供应链系统的收益[4]。国内较多的研究是关于供应链风险的，而供给风险的研究相对较少。其中文献[5]的研究涉及到了供给的风险，探讨了供应商违约问题，即供应商无法保证供给的情况对供应链产生的影响[5]。

过去的研究表明，动态定价是应对不确定性的有效方法。文献[6]讨论了将价格决策延迟到明确市场需求后产生的影响[6]。后来研究进一步扩展到多周期的动态定价问题[7]，易逝品或非易逝品的定价[8～9]以及面临随机需求的动态定价[10]等。但是这些动态定价问题的研究存在一个共同的特点是假设供给是稳定的，即供给总能够被满足，不存在供给风险。

另一方面，越来越多的企业发现通过销售努力（如促销活动）对需求的影响也可以有效降低需求不确定对企业带来的冲击。而对于销售行为的关注较多的出现在供应链协调的文献中[11～12]，尽管部分文献也关注了考虑销售努力的订货批量问题，但是更多的是从供应链协调的角度开展研究。文献[13]的研究假设销售努力影响需求，不同的是产品的价格是固定的，其结果显示较高的销售努力会增加需求，从而增加利润，但是当供给很稳定，即供给风险很小的时候，销售努力就不是很有必要了[13]。而在动态定价的文献里，很少考虑到销售努力行为对需求产生的影响。从过去的文献可以看出，关于动态定价、供给风险和销售努力的研究通常都是分别开展的。目前还缺乏动态定价和销售努力共同作用于供给风险的研究。当供给量不确定，价格和销售努力共同对需求产生影响的情况下，动态定价策略和销售努力水平的变化会对企业获利带来什么样的影响，如何确定定价水平和销售努力水平来降低不确定的影响，实现利润最大化即是本文所要研究的问题。本文的研究是在文献[4]的基础上开展的，寻找在不同供给水平下最优的价格及销售努力水平，并通过数值实验尝试找出什么情况下更适合开展加入销售努力的动态定价策略。本文通过引入供给风险因素，构建了修正的报童模型，并加入价格和销售努力共同影响需求的假设（为了简化分析，假设需求的潜在市场规模是不变的）。在此基础上，文章分析了动态定价和销售努力对于抵消供给不确定的作用，并通过数值实验的结果进行验证，试图找出在存在供给风险时，什么样的情况下动态定价和销售努力能够带来更多的利润。

一、模型描述

（一）面临供给风险的动态定价的决策过程

本文研究的是一个单周期的模型，包括一个零售商和一个供应商。其中零售商是决策主体，面临一个确定的市场（市场潜在规模确定，需求同时受到价格和销售努力的影响）。而受各种因素的影响（自然灾害、突发事件或人为因素等）产品的供给量是存在风险的，并不会刚好得到订购的量，因此供给存在一定的不确定性。零售商的决策过程如图1所示。零售商向供应商订货，订货量为Q，供应商接到订单后，由于各种原因，实际的货物交付量为q，这时零售商根据实际的供给状况和市场需求状况来确定自己的价格p及所需要付出的销售努力水平e。不同于固定定价策略中Q与p同时确定并且p不再变化的情况，这里的p和e是在Q以及实际交付量q发生之后才确定的，并且会随之发生变化，即定价是动态的。

因此本文对于动态定价的研究是分成两个阶段开展的，首先在明确得到供给信息q后确定最优价格p*和最优努力水平e*，然后在此基础上确定能够最大化利润的订货量Q。

图1 面临随机供给的供应系统的决策过程

（二）随机供给量

供给的风险主要来自于供给量的不确定，有可能是天气、灾害或竞争等原因造成产量不足，从而导致无法供给订货量。为了简化分析，本文假设随机供给服从均匀分布[14]。

（三）符号描述

p为零售商购买单位产品的成本；

s为缺货的惩罚成本；

h为剩余产品的损失成本；

e为零售商为了促进销售而付出的努力；

c(e)=le2表示销售努力的成本；

a为潜在市场需求；

b、k分别反映了市场需求对零售价格和

努力程度的反应的度量；

Q为订货量；

q为实际的交货量，由于存在供给风险，

因此并不能按照Q交付；

g为在订货量为Q下交付q的概率；

π为利润。

二、动态定价策略及期望利润函数

（一）考虑销售努力的动态定价策略

假设需求函数为D（p,e)=a-bp+ke,其中-bp+ke≤ 0，即无论如何努力，总的销售量不可能超过潜在的市场需求总额。实际供给q服从[0,Q]的均匀分布。零售商的利润获得存在三种情况：

将需求函数代入式（1）中，得到如下利润函数，

对上述利润情况分析：在第一种情况下，不需要做出任何的销售努力，需求就比供给量要大，这时销售努力成本为0，零售商所要做的就是制定适当的价格将全部产品销售出去，从而获取最大利润。即a-bp=q，因此可以得到在给定q下的最优策略组合其中

在第二种情况下，需要作出适当的销售努力从而使产品能够销售出去，这时的目标是通过合理定价和增加销售努力出售所有的产品，即D(p,e)=q。因此可以得到在给定q下的最优策略组合其中

在第三种情况下，当需求量小于供给量时，产品可能不一定能全部销售出去，而这时努力的目标也不是出售所有产品而是利润最大化。因此可以得到：

证明：式（2）中关于p、e的一阶、二阶偏导数分别为：

当k2-4bl＜ 0时，可以验证海赛阵负定，第三种情况有最优解。令p、e的一阶偏导数都为0，求得第三种情况下在给定q下的最优策略组合其中

推论 当q大于需求量的时候，无论实际供给量的情况如何发生变化，价格和努力水平决策都不会发生变化。从式（9）、式（10）中可以看出实际供给量超出需求的情况下的最优价格和努力水平与q无关，而是一个常数。

将式（3）～（8）分别代入（2）中得到，

对式（9）～（10）进行分析整理，得到，

第二种情况的利润曲线π2与第三种情况下的利润曲线π3有唯一交点，交点为

令π2=π3，即

根据式（9）～（11），利润曲线如图2所示，其中加粗曲线即为利润曲线图，即当供给量比较小的时候，零售商会通过销售努力促进销售，同时进一步提升价格，使得收益增加。而当供给量较大的时候，零售商并不会努力销售完所有的产品，而是追求利润最大，即使会有剩余的商品。

图2 利润曲线图

1．如果k2＜2bl则

2.如果2bl＜k2＜4bl，则

但是，利润函数首先要满足 D(p,e)＜q的条件，因此当2bl＜k2＜4bl，最优定价并不是这里由于加入销售努力的因素，出现了与文献[4]不一致的结论。

这样，得到利润函数的表达如下：

（二）不考虑销售努力的动态定价策略

不考虑销售努力的动态定价情况下，利润函数如下所示。

当实际供给量小于市场需求的时候，定价的目标是出售所有的商品，即而当实际供给量大于市场需求的时候，定价的目标是追求利润最大化，此时代入式（15）、式（16），整理得到如下不考虑销售努力的动态定价下的利润函数，

π1,π2有唯一交点π1在处取得最大利润。比较得到如图3所示，其中加粗部分为利润曲线。

图3 不考虑销售努力的动态定价的利润曲线

因此可以看到，最优价格p*=max(p0,p1)，这与文献[4]的结论是一致的。

（三）动态定价的最大期望利润函数

无论是否加入销售努力因素，动态定价的期望利润函数均如下式（18）所示：

三、固定定价策略及期望利润函数

（一）固定定价策略

固定定价策略即在销售季开始之前，同时确定订货批量和价格决策，无论实际供给量如何价格均不会再发生变化。因此要找到期望利润最大的（Q,p），其利润函数及最大期望利润函数如下所示。

（二）固定定价策略的最大期望利润函数

四、数值实验

通过数值实验对前面的分析做进一步的研究，并分析动态定价策略及销售努力的优劣，以及不同参数产生的影响。在数值实验中，参数的设置为：a=250，k=2，l=12，c=6，s=60，h=30。

1．表1和图4显示，当产品（如必需品）的需求弹性很小的时候，动态定价与固定定价相比能够带来更多的利润。而随着需求弹性的增加，这种优势越来越不明显，当需求弹性很大的时候，动态定价就不再能带来利润的增加。而表1和图5则显示，比较是否增加销售努力的动态定价策略，当b取值较小的时候，增加销售努力的动态定价能够带来更多的利润，而当b值逐渐增大，是否增加销售努力就不那么重要了，而且不同b值之间的利润情况的差异也在缩小。

表1 不同b值条件下的数值实验结果

2．表2反映了参数h s、变化对于三种定价策略产生的影响。表1与表2对比的结果显示当剩余产品的损失成本h高过缺货成本s时，相同订货批量下的收益都要高于h小于s时的利润。

表2s=30,h=60条件下的数值实验结果

图4 不同b值情况下的动态定价与固定定价的对比

图5 不同b 值下有销售努力动态定价与无销售努力动态定价的对比

3．图6则显示在实际供给量相同的情况下，由于销售努力对需求量的促进作用，使得需求量具有更大的变动范围内，而在这个更大范围内通过价格的调节作用，可以获得更高的收益。如图6所示在增加销售努力的情况下，价格和利润都高于没有销售努力的情况。

图6 有销售努力和无销售努力动态定价利润及价格比较

4．当实际供给量比较小的时候，采用动态定价获益更多，此时销售努力的作用并不明显。图7显示当实际供给量比较小的时候，对于动态定价来说，销售努力对获益的促进作用并不大，增加销售努力也并不会使得利润有很大程度的提高，但是当供给量逐渐增大的时候，销售努力对利润的促进作用就越来越明显。而当实际供给量较小的时候，采用动态定价策略的获益会比采用固定定价策略的获益要大，但是当实际供给量大于某一水平之后，这种利润的差异就很不明显了。

5．当订货批量较小时，采用动态定价策略的期望收益会高于固定定价但是随着订货批量的增加，这种差异就变得越来越小。而订货批量较小时，是否增加销售努力对于动态定价的获益影响并不大，但是当订货批量逐渐增大，增加销售努力会带来更多的利润。

图7 动态定价与固定定价的比较

图8 动态定价与固定定价的比较

表3 不同 2/k l 值条件下的数值实验结果

6．销售努力是否能够带来更多的利润取决于对销售的促进作用和所需付出的成本的比值。随着比值越来越小，销售努力带来的利润增长也越来越快。当2/k l的取值越接近于4b时，如图9、表3所示，增加销售努力越没有成效。

图9 不同 2/k l 取值情况下的利润情况与无销售努力动态定价的利润情况

五、结论

过去对于动态定价的研究大多是在需求不确定而供给可靠的假设下开展的，并且只考虑价格因素对需求的影响，而忽略了销售努力可能会对需求产生的影响。本文试图将供给、定价和销售努力结合起来，研究在供给随机的情况下，需求同时受到价格和销售努力影响时，报童问题的定价策略、订购策略以及销售努力水平的确定。本文给出了面对不同供给情况时的最优定价及销售努力水平，并进而确定订购决策，从而为这类报童问题的定价和订购量提供了不同的决策方法。

通过数值实验，本文观察到更适合采取动态定价及增加销售努力的情况：（1）当产品的需求弹性b比较小，实际的供给量q也较小的时候，动态定价会带来更多的利润。（2）当实际的供给量q比较大，增加销售努力往往能带来更多的利润。当然这种对利润的促进很大程度上取决于其对销售的促进作用和所需付出的成本的比值。当增加销售努力需要付出越来越高的成本时，增加销售努力就变得越来越没有必要了。

为了简化分析过程，文章假设供给是服从均匀分布的，且市场的潜在规模是不变，而没有考虑随机需求的情况。因此寻找更适合的描述供给量的分布以及考虑需求随机将是下一步的研究方向。

[1]曲道钢,郭亚军.分销商需求与其努力相关时混合渠道供应链协调研究[J].中国管理科学,2008,16(3):89-94.

[2]LI Q,ZHENG S.Joint inventory replenishment and pricing control for systems with uncertain yield and demand[J].Operations Research,2006,54(4):696-705.

[3]TANGC S,YIN R.Responsive pricing under supply uncertainty[J].European Journal of Operational Research,2007,182(1):239-255.

[4]TANG O S,MUSA N,LI J.Dynamic pricing in the newsvendor problem with yield risks[J].International Journal of Production Economics,2012,139(1):127-134.

[5]王燕,杨文瀚.供应商的违约风险对供应链的影响[J].统计与决策,2005,2:17-18.

[6]GALLEGO G,VAN RYZIN G.Optimal dynamic pricing of inventories with stochastic demand over finite horizons[J].Management Science,1994,40(8):999-1020.

[7]BILLER S,CHAN A L M,SIMCHI-LEVI D,SWANN J.Dynamic pricing and the direct-to-customer model in the automotive industry[J].Electronic Commerce Research,2005,5(2):309-334.

[8]KARAKULM.Joint pricing and procurement of fashion products in the existence of clearance markets[J].International Journal of Production Economics,2008,114(2):487-506.

[9]李豪,熊中楷,彭志强.竞争环境下基于顾客策略行为的易逝品动态定价研究[J].中国管理科学,2011,19(2):88-98.

[10]ZHANG J L,CHEN J,LEE C Y.Joint optimization on pricing,promotion and inventory control with stochastic demand[J].International Journal of Production Economics,2008,116(2):190-198.

[11]TAYLOR T A.Supply chain coordination under channel rebates with sales effort effects[J].Management Science,2002,48(8):992-1007.

[12]徐最,朱道立,朱文贵.销售努力水平影响需求情况下的供应链回购契约[J].系统工程理论与实践,2008,4(4):1-11.

[13]LIU S,SO K C,ZHANG F.Effect of supply reliability in a retail setting with joint marketing and inventory decisions[J].Manufacturing & Service Operations Management,2010,12(1):19-32.

[14]INDERFURTH K .How to protect against demand and yield risks in MRP systems[J].International Journal of Production Economics,2009,121(2):474-481.