基于师生思维差异的课堂观察与反思

☉上海市嘉定区娄塘学校 朱文娟

教学参谋

基于师生思维差异的课堂观察与反思

☉上海市嘉定区娄塘学校 朱文娟

一、问题背景与观测方法

背景：总感觉课堂上的有些教学行为不是十分有效，总感觉有些课堂上教师的教不符合学生此刻的学习需要，总感觉教师的教与学生的学之间存在着一些距离，总感觉师生的思维存在着诸多差异，而这些差异恰恰被广大教师所忽视.

于是，想借助具体的一些题目、具体的课，观察师生之间的思维差异.

题目：如图1，BA⊥MN，A点是垂足，AB=4，P是直线MN上的一个动点，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，D点是垂足.设AP=x，PC=y.

图1

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出定义域.

（2）线段CD的长是否会随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示线段CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.

（3）当△PDC与△PBA相似时，求x的值.观察方法：

二、教学者的思维发生与发展过程

刚看到题目时，笔者的第一直觉是线段CD的长会随着x的变化而变化，恰如第一问中的y与x之间的函数关系式y=（可利用△PCB∽△PBA求得），于是笔者开始思考如何用含x的代数式表示CD的长度.

紧张地思考了3分钟左右，当发现没有办法找到CD的长度与x之间的函数关系式的时候，笔者开始反思这个直觉：CD的长度会不会是一个固定的值？

再次读题，笔者感觉CD的长度应该是一个定值，从而开始思考如何找到这个定值.

假如CD的长度是一个定值，那么当∠APB=60°或者当∠APB=30°时，CD的长度应该一样.

图2

图3

此刻，笔者已经确认CD的长度就是一个定值，而且这个定值就是8.

至此，笔者已深信不疑：CD的长度就是一个定值，这个定值就是8.

可是该如何运用推理的方法来说明CD的长度不随x的变化而变化呢？

笔者先后找到了下面五种方法.

方法1：过点B作BE⊥CD，垂足为E，BE交CP于F，则四边形BADE是矩形（如图4）.

图4

CD=DE+CE=AB+CE=4+4=8.

总感觉方法1有些烦琐，于是想寻找更好的方法.

CD=DE+CE=AB+CE=8.

还有没有其他的方法？笔者继续反思、努力寻找，又发现了三种方法.

方法3：∠CBE=∠PBA=∠PCB，于是可设∠CBE=∠PBA=∠PCB=α.

方法4：作辅助线（如图4）.

由∠CBE=∠PCB，得CF=BF.

又∠FBP+∠CBF=90°，∠FPB+∠PCB=90°，则∠FBP=∠FPB，则BF=FP.

则CF=FP.

则CE=DE=AB=4.

方法5：如图5，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，过点B作BF⊥PC交PC于点F，得四边形ADCE是矩形，∠EBC=∠BPA=∠BPF，∠BCE=∠PBA=∠PBF=∠PCB.

由∠BPA=∠BPF，BA⊥AP，BF⊥PC，知BF=BA.

同理BF=BE.

则BE=BF=AB=4.

则CD=AE=8.

图5

三、走进课堂之后的尝试与部分学生的思维概述

1.在一个平行班上记录的部分数据

上课3分钟后，教师开始询问第一问中的函数关系式.发现：约有的学生在三分钟的时间内，精力没有集中到题目上.

上课6分钟后，发现约有15%的同学认为线段CD的长度会随着x的变化而变化；43%的同学认为CD的长度不变；42%的同学尚在迷惘困惑中，不知道“变”还是“不变”.

生1：老师，要不要加辅助线？

师：我认为当前的主要问题不是要不要加辅助线，而是首先判断CD的长度会不会随x的变化而变化.假如你认为CD的长度随x的变化而变化，那么请努力寻找CD的长度与x之间的函数关系式；假如你认为CD的长度不随x的变化而变化，那么你有没有办法知道CD的长度是多少呢？

在发现学生尚没有领会教师的意图时，教师进一步提示学生：在解决与动点有关的问题、解决与定值有关的问题时，运用从特殊到一般的思想方法分析问题，时常有效.比如，我们可以从几种特殊情况开始考虑，如∠APB=60°、∠APB=30°时.

生2：这样也可以算证明吗？

师：这样不可以算证明，但这样尝试能够帮助我们解决CD的长度会不会随x的变化而变化的问题.

上课第10分钟，学生L发现了与方法1类似的方法（限于篇幅，不再具体将这个方法单列，统一使用方法1表示师生双方此刻的思考结果）.

师：很好，看来我们的思路还是有某些共同之处的，老师想到的第一个方法也是这个，只不过我在发现这个方法之后即感觉这个方法有点繁，于是我试图改进这个方法，再后来，我就连续发现了四种方法.同学们可以继续寻找新方法，也可以考虑改进这个方法，少部分同学也可以在练习本上整理这个方法.

上课第20分钟时，学生Z发现了方法4.

教师表扬了学生Z，并鼓励大家继续思考，随后，这节课上也出现了几个有价值的思考，但教师也发现部分同学的注意力已经开始分散.于是教师只好收回尝试，引导全班学生集中思考教师发现的其他方法.

2.在一个特长班上记录的部分数据

与平行班类似，开始的前三分钟效率依然不是很高，尽管这是一个特长班.

上课第6分钟的时候，发现：约有30%的同学认为CD的长度随x的变化而变化，其中有两位同学居然肯定地回答：变！一定变！

只有20%左右的同学认为“不变”，其余的同学也是在“变”与“不变”之中彷徨，不知道是“变”还是“不变”，也缺乏从特殊到一般的思考问题的方法.

与平行班一样，教师进行了类似的提示.

意外的是，在这个班上生成的第一个方法居然是我们没有想到的方法（记为方法6）.

方法6：延长CB交直线MN于点M（如图6）.

图6

易证∠AMB=∠ABP=∠PCB.

又PB⊥CM，则CB=MB.

则CD=2AB=8.

相对于前面所找到的几种解题方法，方法6的简洁与巧妙，令人折服.教师发自内心地赞美了这种方法，表扬了这个学生.毕竟是特长班，在教师表扬的声音尚未散尽的时候，方法4与方法5先后在这个班上生成.

更令人惊喜地是，学生J又提出了方法7.

图7

又四边形ADCE是矩形，则CD=AE=8.

大约在第20分钟的时候，这个班上才出现类似方法1的方法，因为同学们的方法相对简洁，所以将其称为方法8.

方法8：作辅助线（如图4）.

在这个过程中，同学们又先后在上述辅助线的基础上，添加若干辅助线，提出了利用全等三角形证明问题的方法（本文不再介绍）.

四、基于师生思维差异的比较与思考

1.教师与学生之间的思维存在着诸多差异，扎实的“双基”未必一定催生优秀的思维方式

教师的“双基”绝对要比任何一位同学都要扎实，但是扎实的“双基”未必就一定能够生成优秀的思维方式.相对于这两个班级的学生，我们发现教师的解题能力稳居80%的学生之上，但是位于部分数学优秀生之下.

由此想到，习题教学，未必需要先讲老师备课时设计好的方法，应该先让学生充分尝试，即使在这个班上没有生成预设之外的方法，那么更多的学生也一定能够在亲历或欣赏他人思考的过程中，收获更多预设之外的东西.

2.教师擅长反思，善于运用多种方法解决问题；学生侧重于多做几个题目，不善于反思，缺乏寻找多种方法解决问题的意识

整体分析这两个班级的学生情况，感觉90%以上的学生都不善于主动反思、监控自己的思维过程，他们满足于找到解决问题的方法.就在笔者与多数同学沉浸于发现的喜悦中的时候，笔者发现也有个别同学没有参与其中，而是忙于思考后面的问题.

3.需要进一步引导学生明确解题的目的

会解答某个题目不是目的，我们的目的是借助这个解决问题的过程，完善我们的思维方式，优化我们的思维方式，即使达不到优化思维、改善思维的方式，至少也应该尝试从不同的角度思考问题，尝试寻找运用不同的方法解决问题.

4.欲减轻学生过重的课业负担，必须走出纯知识立意的教学环境

学生的课业负担仍然过重，师生双方均沉沦在题海、试卷、教辅之中，这依然是不争的事实.本文中的个别学生不愿意将时间投入到多种方法的探究过程中，而宁愿利用这个时间多解答几个题目，就可以从侧面说明问题.

作为一名有理想的数学教师，必须要勇敢地从纯知识立意的教学环境中走出来，走进思维教学的层面，走进能力立意、人本立意的教学空间，研究学生的思维状态.

如何研究学生的思维状态？

不妨从最初思考、思维变化、最终思考着手调查！

可以统计依据最初思考（即直觉）就可解决问题的同学，恰当地鼓励这些同学；帮助因通过最初思考无法解决问题而思路受阻的同学走出困境，引导他们换一个视角审视问题；引导全体同学回顾整体解题分析过程，并经梳理形成最终的思考，力争借助某种愉悦的情感体验将这个最终思考凝聚生成新的情境.假如此刻，我们能够在学生脸上寻觅到若有所悟或恍然大悟的神态，那么我们此刻的“教”，或许才可以真正称得上有效！

5.教学相长，只有生成于容纳教学相长的环境中，生成于教师勇于向学生袒露真实思维的教学环境之中，生成于能够容“变”、顺“变”的非线性执行预设的教学流程中

与学生一起解答一个大家都未曾思考的题目，让学生能够零距离地看到成功的解题思考固然很重要，让学生能够真实地看到诸多未能解决问题的真实思考更重要！即使是让学生偶尔看到老师的窘态，也不是什么大事.

善于向学生学习，真正树立为学生的学习服务的意识，教学相长，或许才能够真正呈现于你、我、他、大家身上.